Zona Olímpica

1. Encuentra todos los valores $x,y,z \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, tales que $13xy45z$ es divisible por $792$. Donde las variables $x,y,z$ representan dígitos del número de $7$ cifras.

2. Sean 3 círculos con radios $x, \ y,$ y $z$ con una misma linea tangente. Estos círculos son tangentes entre si como se puede ver en la siguiente imagen. Encuentra la relación entre $x,y,z$.

3. a) Muestra que la curva $x^3+3xy+y^3=1$ contiene un conjunto de puntos distintos $A,B,C$ tales que $\Delta ABC$ es equilátero.

b) Encuentra $A(\Delta ABC)$

4. Sea $\{a_{n}\}_{1}^{\infty}$ una sucesión definida como $a_{1}=1$,$a_{n}=a_{1} a_{2} \dotsm a_{n-1}+1$. Encuentra $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_{n}}$

5. Para $a,b,c \in N$ resuelve: $\left( 1+\frac{1}{a} \right) \left(1+\frac{1}{b}\right)\left( 1+\frac{1}{c}\right)=2$

6. Como se muestra en la figura de abajo, hay una recta $l: x-y-2=0$ y una parábola $C: y^{2}=2px$ $(p>0)$.

a) Si la recta $l$ pasa por el foco de la parábola $C$, ¿Cuál es la ecuación de la parábola?

b) Hay dos puntos $P,Q$ en $C$ tales que $P$ y $Q$ son simétricos respecto a $l$. Pueba que el punto medio del segmento de recta $PQ$ es $(2-p,-p)$.

Pregunta de Erdös

Sea $f: \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}$ una función infinitamente diferenciable que satisface $f(0)=0$, $f(1)=1$, y $f(x) \geq 0$ $\forall x \in \mathcal{R}$. Prueba que existe un entero positivo $n$ y un real $x$ tal que $f^{(n)}(x)<0$.