Zona Olímpica

  1. Sea $A$=mcm$(1,2,…,2020)$ y $B$=mcm$(1011,…,2020)$, donde mcm$()$ denota al mínimo común múltiplo.¿Cuál número es más grande?
  2.  Sea $f:\Bbb{R} \longrightarrow \Bbb{R}$ una función tal que para todos $x,y\in \Bbb{R}$,
    \begin{equation*}
    f(x^3+y^3)=(x+y)(f(x)^2-f(x)f(y)+f(y)^2).
    \end{equation*}
    Pruebe que $f(2020x)=2020f(x)$.
  3.  a)  Encuentre el valor mínimo de $x^x$ para $x\in\Bbb{R}$  b) Muestre que si $x$ y $y$ son reales positivos se cumple que $x^y+y^x>1$
  4. Empezando en $(1,1)$, una roca se mueve en el plano coordenado de acuerdo a las siguientes reglas:
    1. De cualquier punto $(a,b)$ la roca se puede mover a $(2a,b)$ o $(a,2b)$.
    2. De cualquier punto $(a,b)$ la roca se puede mover a $(a-b,b)$ si $a>b$ o a $(a,b-a)$ si $a<b$.¿Para qué enteros positivos $x,y$ se puede mover a la roca a $(x,y)$?
  5.  Dado un alfabeto con solamente $3$ letras $a,b,c,$ encuentre el número de palabras de tamaño $n$ que contienen un número par de $a$’s.
  6. Sean $x,y$ números reales. Muestre que si el conjunto

\begin{equation*}
\{cos(n\pi x)+cos(n\pi y)|n\in\Bbb{N}\}
\end{equation*}
es finito, entonces $x,y$ son números racionales.

Pregunta de Erdös

Encuentra el término $2020$ de la sucesión de Fibonacci. $($Sugerencia: Encuentra la forma recursiva de la sucesión y recuerda como expresar una sucesión recursiva en forma matricial.$)$

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