Zona Olímpica

¿Para qué valores de $n$ con $n\in\Bbb{N},n\geq 8$ se tiene que:
$\begin{equation*}n^{\frac{1}{n-7}}\in \Bbb{N} ? \end{equation*}$
Pruebe que no existe $n\in\Bbb{N}$ mayor a 1 tal que $n!$ es un cuadrado perfecto.
Sea $\{a_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ una sucesión que cumple:
$a_{1}=1$

$a_{m+n}+a_{m-n}=\frac{1}{2}(a_{2m}+a_{2n}).$
Encuentre $a_{2020}.$
Sea $f:[0,1]\longrightarrow\Bbb{R}$ una función no decreciente tal que:
$f(x)=\frac{1}{2}f(3x)$

$f(1-x)=1-f(x).$
Pruebe que $f$ es constante en el intervalo $[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]$ y encuentre $f(\frac{52}{2020}).$
Suponga que tiene un cuadrado con vértices $A,B,C,D$ y un círculo tal que $B$ y $C$ son puntos en el círculo y el segmento $AD$ es tangente al círculo en un punto $E$ . ¿Cuál de las dos figuras tiene el mayor perímetro?
Sea $f:\Bbb{R}^2\longrightarrow\Bbb{R}$ tal que para toda $x,y,z\in\Bbb{R}$ :
$\begin{equation*} f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)=0. \end{equation*}$
Pruebe que existe una función $g:\Bbb{R}\longrightarrow\Bbb{R}$ tal que:
$\begin{equation*} f(x,y)=g(x)-g(y). \end{equation*}$