La probabilidad de que estemos solos en el universo

Perhaps when we look up the sky at night, near one of those faint pinpoints of light is a world on which someone quite different from us is then glancing idly at a star we call the Sun and entertaining, for just a moment, an outrageous speculation.

Carl Sagan

Un poco de historia

La idea de que existe vida inteligente fuera de nuestro planeta es anterior a la historia. La búsqueda científica de inteligencia extraterrestre se puede considerar que empezó en 1959. En 1959, Giuseppe Cocconi y Philip Morrison publicaron en la revista Nature el artículo «Searching for Interstellar Communications’’ en el que sentaron las bases de la búsqueda de inteligencia extraterrestre $($SETI por sus siglas en inglés$)$¹G. Cocconi and P. Morrison, “Searching for Interstellar Communications,” Nature, vol. 184, no. 4690, pp. 844–846, 1959..

La investigación en SETI ha avanzado desde su creación, pero hay muchas preguntas que no se han podido responder, ni se podrán responder en un futuro cercano. La primera pregunta y la más fundamental es ¿estamos solos en el universo? Si asumimos que no estamos solos, surgen muchas más preguntas: ¿Qué tan común es la vida inteligente? ¿Por qué no hemos podido contactar ni hemos sido contactados por vida inteligente? ¿Qué significa vida inteligente? ¿Realmente queremos contactar a extraterrestres?

¿Qué tan lejos esta nuestro vecino más cercano?

La primera pregunta que vamos a tratar de contestar es, ¿cuál es la distancia mínima entre la tierra y una civilización avanzada extraterrestre?. Para aproximar este número, lo primero que hay que considerar es la forma de la galaxia. Vivimos en una galaxia espiral con un radio de $50,000$ años luz $($$al$$)$ y un grosor de $1,600 al$ en la mitad del camino entre el borde y el centro. Entonces tenemos los valores:

• $R_G=50,000al$, es el radio de la galaxia;
• $h_G=1,600al$, es la altura de la galaxia.
• El volumen de la galaxia se puede aproximar con la fórmula de volumen de un cilindro y está dado por:
$$V_G=\pi R_G^2h_G=4000000000000\pi$$ $$V_G\approx 1.26 \times 10^{13} al^3$$

Ahora, consideramos la esfera $S$ con centro en la tierra y radio igual a la distancia al extraterrestre más cercano $($$d_{et}$$)$ entre dos, esta esfera tendría un volumen dado por $$V_S=\frac{4}{3}\pi \left( \frac{d_{et}}{2} \right)^3$$ Es importante aclarar que dividimos entre dos, porque estamos asumiendo que las civilizaciones están equiespaciadas en la galaxia. Esto probablemente no es cierto, pero es el mejor aproximado que tenemos por ahora.

Denotamos por $N$ el número de las civilizaciones que existen en la galaxia capaces de recibir y enviar señales de radio. Por ahora solo sabemos que $N\ge 1$, porque nosotros vivimos en esta galaxia. Considerando que asumimos que las civilizaciones extraterrestres se distribuyen uniformemente, tenemos la proporción: $$\frac{V_G}{N}=\frac{V_S}{1}$$ Si sustituimos $$\frac{\pi R_G^2 h_G}{N}=\frac{\frac{4}{3}\pi \left( \frac{d_{et}}{2} \right)^3}{1}$$ En esta expresión tenemos dos incógnitas: $d_{et}$ y $N$. Pero, podemos suponer que podemos aproximar $N$ basándonos en nuestro conocimiento de la galaxia. Entonces podemos encontrar una función que nos dé el valor esperado de la distancia entre civilizaciones en la galaxia: $$d_{et}(N)=\frac{\sqrt[3]{6R_G^2 h_G}}{\sqrt[3]{N}}\approx \frac{28845}{\sqrt[3]{N}}al$$

Figura 1: Comparación entre número de civilizaciones en la galaxia y distancia esperada entre civilizaciones cercanas.

Como se puede ver en la figura 1, si hay $1,000,000$ civilizaciones en la galaxia, la distancia esperada a la civilización más cercana sería aproximadamente $285al$. Para poner este número en perspectiva: actualmente, se está construyendo el radiotelescopio mas potente de la historia, llamado Square Kilometer Array $($SKA$)$. Este radiotelescopio consiste de un campo de un kilómetro cuadrado que se ha llenado con antenas. El SKA va a ser utilizable en el 2027 y va a ser terminado en el 2030. Este radiotelescopio podría detectar a una civilización con tecnología similar a la tierra $($Desde la Guerra Fría hasta a ahora las señales que podrían ser detectadas han disminuido considerablemente y van a seguir disminuyendo hasta que se logre crear naves espaciales que puedan hacer viajes a otras estrellas. Si se tienen naves espaciales capaces de viajar grandes distancias se cree que es necesario tener señales de radio con mayor alcance $)$ a una distancia de $0.2kpc$ $($kiloparsecs$)$ o $652.313$ años luz²A. Loeb and M. Zaldarriaga, “Eavesdropping on radio broadcasts from galactic civilizations with upcoming observatories for redshifted 21 cm radiation,” Journal of Cosmology and Astroparticle Physics, vol. 2007, no. 01, pp. 020–020, 2007.. Tendríamos que tener $N\approx 90,000$ y civilizaciones en el momento correcto de su desarrollo para poder detectar a una civilización extraterrestre.

¿Cuántos vecinos tenemos?

Después del lanzamiento del satélite soviético Sputnik, la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos organizó un grupo para poner metas realistas para la Carrera Espacial. Este grupo tuvo que aceptar que sabían poco sobre lo que hay en el espacio exterior. En 1961, organizaron una reunión secreta en el observatorio de Green Bank $($Wisconsin$)$ para discutir la posibilidad de la existencia de civilizaciones extraterrestres³H. P. Shuch, Searching for Extraterrestrial Intelligence SETI Past, Present, and Future. Springer Berlin, 2013..En la conferencia de Green Bank, Frank Drake, un matemático y astrónomo, propuso una forma de calcular el numero de civilizaciones en la galaxia $($$N$$)$. Este método es actualmente conocido como la Ecuación de Drake⁴C. Sagan, Cosmos, Random House, New York, 1983..

Si tomamos las variables:

$N_s$ es el número de estrellas en la Vía Láctea, $f_p$ es la fracción de estrellas que tienen planetas, $n_e$ es el número de planetas en un sistema promedio que cumplen con las condiciones para tener vida, $f_l$ es la fracción de planetas que cumplen con las condiciones para tener vida y si tienen vida, $f_i$ es la fracción de planetas que tienen vida en los que evoluciona vida inteligente, $f_c$ es la fracción de planetas en los que evoluciona vida inteligente que existe una civilización avanzada; $f_L$ es la fracción de la vida del planeta durante la cual ha habido una civilización avanzada.

Entonces la Ecuación de Drake se puede escribir como:

$$N=N*sf*pn*ef*lf*if*cf*L$$

La realidad es que para la mayoría de estas variables, no podemos hacer más que adivinar.

Ejemplo de la ecuación de Drake

De acuerdo a la NASA hay entre $1\times 10^{11}$ y $4\times 10^{11}$ estrellas en la galaxia⁵“How Many Stars in the Milky Way?,” NASA. Disponible en: https://asd.gsfc.nasa.gov/blueshift/index.php/2015/07/22/how-many-stars-in-the-milky-way/., por lo que tomamos arbitrariamente $N_s=2.5\times 10^{11}$. De acuerdo a la NASA puede ser que la gran mayoría de las estrellas tienen planetas⁶B. Dunbar, “At Least One in Six Stars Has an Earth-sized Planet,” NASA, 07-Jun-2013. Disponible en: https://www.nasa.gov/mission_pages/kepler/news/17-percent-of-stars-have-earth-size-planets.html, vamos a tomar $f_p=0.7$. No sabemos todavía cómo saber si un planeta es habitable, hay muchos factores además de la atmósfera y la temperatura que hay que considerar, pero podemos tomar $n_e=1$. Estos valores nos llevan a que el número de planetas habitables en la galaxia es:

$$N*sf*pn*e=2.5\times10^{11} 0.7 * 1=1.75\times 10^{11}.$$

Ahora, para las siguientes variables ya no tenemos idea y estamos completamente adivinando. No sabemos cuales son las condiciones y las posibilidades de vida, pero podemos asumir que la vida $($por más sencilla que sea) es relativamente común, $f_l=0.2$. De acuerdo a estos números, hay $3.5\times 10^{10}$ planetas en la galaxia que han tenido vida.
La vida inteligente implica un nivel de complejidad mucho mayor a la vida en general. Aun así, podemos ser relativamente optimistas porque no sabemos realmente qué significa vida inteligente en otro planeta, podemos creer que hay muchos caminos que nos lleven a vida inteligente, $f_i=0.01$. Podemos adivinar que la vida inteligente tiende a una civilización avanzada a menos de que haya algún evento de extinción masivo, por lo que $f_c=0.2$. Ahora, tenemos que hay $1.96\times 10^4$ planetas que han tenido una civilización avanzada.
Para analizar por cuanto tiempo existe una civilización avanzada, podemos ver a nuestra propia civilización. La civilización avanzada en la tierra tiene menos de un siglo de existencia y no es exagerado pensar que es probable que nos vamos a destruir en pocos siglos, si no es que menos. Comparando esto con la edad de la tierra, podemos aproximar que $1\times 10^{-8}$, pero vamos a ser optimistas y decir que $f_L=1\times10^{-7}$. Con los números que usamos llegamos a que $N=7$. Es importante tomar en cuenta que la variable que más afectó fue $f_L$ y la verdad es que también hay razones para ser optimistas sobre nuestro futuro y el futuro de nuestros vecinos galácticos.
Si somos más optimistas sobre la probabilidad de que se forme vida inteligente y sobre el tiempo de vida de una civilización, podemos llegar a creer que hay miles de civilizaciones avanzadas en la galaxia. Si hay miles de civilizaciones en la galaxia, por más grande que sea nuestra galaxia, no es descarado creer que algún día las podamos contactar.

Una versión estadística de la ecuación de Drake

Es claro que el procedimiento anterior no fue correcto. Hubo que adivinar demasiado y hay que adivinar en cada paso. Los resultados que la ecuación da cambian mucho si cambian los valores considerados. Se puede usar para argumentar que hay millones de civilizaciones avanzadas en la Vía Láctea o que el valor esperado del número de civilizaciones avanzadas es menor a uno.
En el 2012, el matemático y astrónomo italiano Claudio Maccone publicó el artículo «The statistical Drake equation’’ en el que propuso una versión probabilística de la ecuación de Drake. Esta versión de la ecuación de Drake soluciona varios de los problemas de la ecuación de Drake y logra presentar $N$ como una variable aleatoria.
La primera variable que usamos en la ecuación es $N_s$ y sabemos que hay entre $1\times 10^{11}$ y $4\times 10^{11}$. Tomar cualquier valor de $N_s$ no sería correcto, al fin y al cabo lo que hicimos al elegir $N_s=2\times 10^{11}$ fue adivinar. Tiene más sentido emplazar a $N_s$ con una variable aleatoria, al igual que todas las otras variables.
Entonces, reemplazamos cada uno de los valores con una variable aleatoria $D_j$, con media $\mu_j$ y desviación estándar $\sigma_j$. Responder cuáles son los valores de cada $\mu_j$ y $\sigma_j$ es una tarea para los expertos en los campos de cada una de las variables. Aun así, no conocemos ni tenemos las herramientas para conocer la distribución de probabilidad de ninguna de estas variable.
Para resolver este dilema podemos utilizar la Teoría de información de Shannon y un teorema que demostró en 1948⁷C. E. Shannon and W. Weaver, The mathematical theory of communication. University of Illinois Press, 1999.:

Teorema 1. La distribución de probabilidad con mayor entropía $($es decir incertidumbre$)$ sobre cualquier rango finito de números reales es la distribución uniforme.

Entonces, podemos asumir que $D_j$ se distribuye uniforme con media $\mu_j$ y desviación estándar $\sigma_j$. Esto es equivalente a decir que
$$D_j \sim \mathcal{U}\left( a_j,b_j \right)$$
con $a_j=\mu_j-\sqrt{3}\sigma_j$ y $b_j=\mu_j+\sqrt{3}\sigma_j$.
Ahora necesitamos encontrar la distribución de probabilidad de $N$, donde $N$ puede ser representado por la ecuación de Drake estadística:
$$N=D_1D_2D_3D_4D_5D_6D_7$$

Teorema 2. La variable aleatoria $N$ tiene una función de densidad de probabilidad $$f_N(y)=\frac{1}{2\pi y}\int_{-\infty}^\infty y^{-it}\prod_{j=0}^7\frac{b_j^{(it+1)} -a_j^{(it+1)}}{(b_j-a_j)(1+it)}dt$$.


Tenemos 7 variables aleatorias $D_j$ independientes que se distribuyen uniformemente continuas sobre distintos rangos positivos, tales que el producto de las 7 variables aleatorias es $N$. Tomamos el logaritmo de ambos lados de la ecuación:
\begin{equation}
\ln(N)=\ln\left(\prod_{j=1}^7 D_j\right)=\sum_{j=1}^7\ln(D_j)\label{eq:Y}
\end{equation}
Asignamos las variables $Y=\ln(N)$ y $Y_j=\ln(D_j)$ para $j=1,2,3\dots 7$. Ahora tenemos que encontrar la distribución de cada $Y_j$ y la distribución de $Y$, recordando que $N=e^Y$.
Tomamos a $g(x)=\ln(x)$ y claramente su inversa es $g^{-1}(x)=e^x$. Ya que $g$ es estrictamente creciente sabemos que la función de probabilidad acumulada de $Y_j$ es $$F_{Y_j}(y)=P(Y_j\le y)=P(g(D_j)\le y)= P(D_j\le g^{-1}(y))=F_{D_j}(g^{-1}(y))$$
por lo que tenemos que

$$F_{Y_j}(y)=\begin{cases} 0 & \text{ si } y<\ln(a_j)\\ \frac{e^y-a_j}{b_j-a_j} & \text{ si } y\in[\ln(a_j),\ln(b_j)]\\ 1 & \text{ si } y>\ln(b_j)\end{cases}$$

Ahora podemos encontrar la función de densidad de probabilidad de $Y_j$ viendo que

$$f_{Y_j}(y)=F'{Y_j}(y)=\frac{d}{dy}F{D_j}(g^{-1}(y))=f_{D_j}(g^{-1}(y))\frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$

entonces podemos ver que

\begin{equation} f_{Y_j}(y)= \begin{cases} \frac{e^y}{b_j-a_j} & \text{ si } y\in[\ln(a_j) \ln(b_j)] \\ 0&\text{ en otro caso}\end{cases} \end{equation}

Ahora que ya tenemos la FDP de $Y_j$, necesitamos encontrar su media y su desviación estándar:
$$E[Y_j]=\int_{\ln(a_j)}^{\ln(b_j)} yf_{Y_j}(y)dy= \frac{1}{b_j-a_j} \int_{\ln(a_j)}^{\ln(b_j)}ye^ydy= \frac{(\ln(b_j)-1)b_j- (\ln(a_j)-1)a_j}{b_j-a_j}$$
Para poder calcular la desviación estándar, necesitamos calcular la esperanza de $Y_j^2$:
$$E[Y_j^2]=\int_{\ln(a_j)}^{\ln(b_j)} y^2f_{Y_j}(y)dy= \frac{1}{b_j-a_j} \int_{\ln(a_j)}^{\ln(b_j)}y^2e^ydy$$
$$=\frac{b_j[\ln^2(b_j)-2\ln(b_j)+2]-a_j[\ln^2(a_j)-2\ln(a_j)+2]}{b_j-a_j}$$
De aquí podemos ver que:
$$\sigma^2_{Y_j}=E[Y_j^2]-E^2[Y_j]=1-\frac{a_jb_j[\ln(b_j)-\ln(a_j)]^2}{(b_j-a_j)^2}$$
y tenemos que la desviación estándar es:
$$\sigma_{Y_j}=\sqrt{\sigma^2_{Y_j}}=\sqrt{1-\frac{a_jb_j[\ln(b_j)-\ln(a_j)]^2}{(b_j-a_j)^2}}$$
También necesitamos la función característica de las variables aleatorias $Y_j$, ya que la función característica de la suma de variables aleatorias independientes es el producto de sus funciones características:
$$\phi_{Y_j}(t)=\int_{\ln(a_j)}^{\ln(b_j)}e^{ity}f_{Y_j}(y)dy=\frac{1}{b_j-a_j}\int_{\ln(a_j)}^{\ln(b_j)}e^{y(it+1)}dy=\frac{b_j^{(it+1)} -a_j^{(it+1)}}{(b_j-a_j)(1+it)}$$
De aquí podemos ver que:
$$\phi_Y(t)=\prod_{j=0}^7 \phi_{Y_j}=\prod_{j=0}^7\frac{b_j^{(it+1)} -a_j^{(it+1)}}{(b_j-a_j)(1+it)}$$
Entonces podemos calcular la FDP de $Y$ haciendo la transformada inversa de Fourier:
$$f_Y(y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-ity}\phi_Y(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-ity}\prod_{j=0}^7\frac{b_j^{(it+1)} -a_j^{(it+1)}}{(b_j-a_j)(1+it)}dt$$
Esta función no es analíticamente integrable. Combinamos este resultado con (??) y tenemos que $$f_N(y)=\frac{1}{|y|}f_Y(\ln(Y))=\frac{1}{2\pi y}\int_{-\infty}^\infty y^{-it}\prod_{j=0}^7\frac{b_j^{(it+1)} -a_j^{(it+1)}}{(b_j-a_j)(1+it)}dt$$
y sabemos que $N\in\left[\prod_{j=1}^7a_j,\prod_{j=1}^7b_j\right]$

Hay otra forma de conseguir una función de densidad de probabilidad que es mas fácil de utilizar. Por la ecuación (??), tenemos que $N=e^Y$ con $$Y=\sum_{j=1}^7 Y_j,\quad\text{ con }\quad\mu_{Y_j}=\frac{(\ln(b_j)-1)b_j- (\ln(a_j)-1)a_j}{b_j-a_j}\quad\text{ y }\quad\sigma^2_{Y_j}=1-\frac{a_jb_j[\ln(b_j)-\ln(a_j)]^2}{(b_j-a_j)^2}.$$
Ahora, ya que tenemos la suma de varias variables aleatorias, podemos aplicar el Teorema Central del Limite $($TCL$)$ con condiciones de Lindeberg. Este dice que la suma de $n$ variables independientes no necesariamente idénticamente distribuidas tiende a una distribución normal, donde:
$$\mu_Y=\sum_{j=1}^7 \mu_{Y_j}\quad\text{ y }\quad \sigma_Y^2=\sum_{j=1}^7\sigma_{Y_j}^2.$$
Ya que $N=e^Y$ y $Y$ se distribuye normal, se puede ver que $$N\sim \text{Lognormal}(\mu_Y,\sigma^2_Y).$$
Finalmente, esta distribución cumple con que mientras más variables se consideren entre las $D_j$, mejor se pueden elegir los parámetros que definen a la distribución de $N$.

Figura 2: Ambas formas de la función de densidad de probabilidad evaluadas numéricamente.

Conclusión

Es importante recordar que el volumen de la galaxia es aproximadamente $1.26 \times 10^{13} al^3$, o $1.07\times 10^{52}km^3$, mientras que la búsqueda de vida extraterrestre, como rama de la ciencia, es relativamente joven. SETI, aun cuando ha avanzado mucho en los más de sesenta años que lleva existiendo, le falta mucho para llegar a su objetivo. Tiene un objetivo claro, el cual suena imposible si se consideran las proporciones del universo.
Es imposible saber si tenemos algún vecino cercano, por lo menos hasta que lo encontremos. Las matemáticas aquí presentadas, requieren que se adivine demasiado y las civilizaciones extraterrestres pueden ser tan distintas que hasta el uso de la palabra civilización suena incorrecto. Hay muchas objeciones que se pueden tener a la forma en la que se conceptualizó y se resolvió el problema en este articulo. Aun así, las ideas aquí presentadas pueden hacer que valga la pena voltear hacia arriba de noche y preguntarse si nuestro sol es solo una estrella para alguien mas.