En el majestuoso conjunto de la creación, nada hay que me conmueva tan hondamente, que acaricie mi espíritu y dé vuelo a mi fantasía como la luz apacible y desmayada de la luna.
Gustavo Adolfo Bécquer

Los sucesos inusuales alrededor de Saturno

Los planetas con una gran masa permiten la existencia de fenómenos celestes extraordinarios. Por ejemplo, Júpiter atrae cuerpos celestes que se aproximan a la tierra, por lo que se le conoce como guardián de ella. Después de Júpiter, Saturno es el planeta con más masa del Sistema Solar. Dos de las características más conocidas de Saturno son sus anillos y sus satélites naturales. Existen otros fenómenos interesantes, poco conocidos, relacionados con este planeta. En este artículo abordaremos dos de ellos: la dinámica de los satélites coorbitales.  ¹ Janus y Epimetheus, y de las lunas pastoras, Prometheus y Pandora, del anillo F. El esquema de las órbitas de estos satélites se muestra en la Figura 1.

Mitología oculta

ORIGEN DE LAS PALABRAS Y NOMBRES, HISTORIA

Epimetheus fue uno de los titanes, hijo de Japeto y Clímene, hermano de Prometheus, Atlas y Menoetius. Su nombre se deriva de la palabra griega $ E \pi i \mu \eta \theta \varepsilon v \varsigma$ $($Epimetheus$)$ que significa pensamiento tardío, antónimo del nombre de su hermano, Prometheus $($ $\Pi \rho o \mu \eta \theta \varepsilon v \varsigma$ $)$, cuyo significado es «pensamiento previo». En este contexto, Epimetheus apareció como un personaje tonto, mientras que Prometheus fue un ser inteligente.

A Prometheus y Epimetheus se les encomendó la tarea de dar características a los animales creados por los dioses. Epimetheus dio un rasgo positivo a cada animal, sin previsión, dejándolo sin opciones para el hombre. Prometheus le dio a la humanidad las artes civilizadoras y el fuego.

Epimetheus recibió a Pandora como un regalo creado por los dioses; un humano para castigar a los humanos. De la unión de Epimetheus y Pandora nació Pyrrha. Pandora recibió un frasco que contenía todos los males de la humanidad; curiosa por ver qué había dentro, la abrió y todos los males fueron liberados en el mundo. Conmocionada, la cerró tan pronto como pudo, pero solo la esperanza permaneció atrapada dentro.

Ecuaciones de movimiento

Con el objetivo de describir la dinámica de los satélites de Saturno, a continuación introducimos algunos conceptos de cinemática, dinámica, y las ecuaciones de movimiento. Posteriormente describimos la tercera ley de Kepler.

Definición 1.
Considere una partícula con vector de posición $ {\bf r} \in \mathbb{R}^n $ , donde $ n \in \{1,2,3\} $.Definimos los vectores velocidad y aceleración como $$ {\bf v} = \frac{d{\bf r}}{dt}, {\bf a} = \frac{d^2{\bf r}}{dt^2},$$
respectivamente.

Definición 2.
Consideremos una partícula puntual de masa $m$, con aceleración ${\bf a}$, en la que actúa la fuerza ${\bf F}$. La segunda ley de Newton establece que
$$
{\bf F} = m {\bf a}.
$$.

Definición 3.
Considere dos partículas puntuales de masas $m_1$ y $m_2$, en un sistema inercial² con vectores de posición ${\bf r}_1$, ${\bf r}_2$. Se define la fuerza gravitacional de Newton, que ejerce el cuerpo 2 sobre el cuerpo 1, como
$$
{\bf F}_{1,2}=Gm_1 m_2\frac{{\bf r}_2-{\bf r}_1}{||{\bf r}_2-{\bf r}_1||^3}.
$$
donde $G$ es la constante de gravitacional universal y $||\cdot||$ denota la norma euclidiana.

Note que la fuerza gravitacional que ejerce el cuerpo 1 sobre el cuerpo 2 difiere solamente en el signo con respecto a la fuerza mostrada anteriormente; es decir, ${\bf F}_{2,1}=-{\bf F}_{1,2}$.

Combinando la segunda ley de Newton con la fuerza gravitacional se obtiene una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que describe la evolución temporal de los vectores de posición, esto es
$$
\frac{d^2{\bf r}_1}{dt^2} = Gm_1\frac{{\bf r}_2-{\bf r}_1}{||{\bf r}_2-{\bf r}_1||^3}, \quad \frac{d^2{\bf r}_2}{dt^2} = Gm_2\frac{{\bf r}_1-{\bf r}_2}{||{\bf r}_2-{\bf r}_1||^3}.
$$
Esto da lugar al concepto de ecuaciones de movimiento, lo cual establecemos a continuación como una definición para el caso de $N$ cuerpos.

Definición 4.
Considere $N$ partículas puntuales con masas y vectores de posición $m_i$, ${\bf r}_i$, $i=1,\cdots,N$ respectivamente. Se definen las ecuaciones de movimiento del problema de $N$ cuerpos como
$$
\frac{d^2{\bf r}_i}{dt^2} = \sum_{j \not = i}^N Gm_j \frac{{\bf r}_j-{\bf r}_i}{||{\bf r}_j-{\bf r}_i||^3}, i=1,\cdots,N.
$$
Note que si dos o más partículas están en la misma posición; entonces, las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento no están bien definidas.

Tercera ley de Kepler

En un sistema de dos cuerpos los planetas pueden tener órbitas cónicas, es decir, circulares, elípticas, parábolas, hipérbolas y, el caso degenerado, líneas rectas.

La tercera ley de Kepler se hizo con base en observaciones de las órbitas de los planetas de nuestro sistema solar obtenidas por Tycho Brahe ³. Esta establece una relación entre el periodo orbital y el semieje mayor en órbita elíptica.

Definición 5.
El cuadrado del periodo de un planeta es proporcional al semieje mayor de la órbita del planeta.

Esta relación también puede ser deducida de las ecuaciones de movimiento. Considere un sistema de dos cuerpos, con masas $m_1$, $m_2$, donde el cuerpo 2 orbita alrededor del cuerpo 1, en una órbita elípticas con semieje mayor $a$ y periodo orbital $T$, entonces se satisface la relación
$$
T^2 = \frac{4 \pi^2}{G(m_1+m_2)}a^3.
$$
Si $m_1>>m_2$, como sucede en el caso de los satélites de Saturno, tenemos
$$
T \approx 2 \pi \sqrt{\frac{a^3}{Gm_1}}.
$$
De la relación anterior se deduce que si varios satélites orbitan alrededor de un planeta entonces es más rápido el satélite cuya órbita tiene un menor valor en el semieje mayor.

Dinámica Janus y Emipetheus

Las órbitas tipo herradura fueron descritas por primera vez en 1911 ⁴, en el problema restringido circular de tres cuerpos⁵. En este modelo simplificado, el cual es sumamente complejo, se considera la dinámica de una partícula de masa despreciable bajo el campo definido por dos cuerpos que siguen órbitas circulares prescritas. Los primeros cuerpos celestes donde se observó este tipo de movimiento coorbital fueron Janus y Epimetheus, satélites de Saturno.

Considerado un problema de tres cuerpos, la órbita del sistema Saturno, Janus y Epimetheus se da prácticamente en un plano fijo. Las ecuaciones de movimiento que describen la dinámica de los satélites son
$$
\frac{d{\bf r}^2_J}{dt^2}=Gm_S \frac{{\bf r}_S-{\bf r}_J}{||{\bf r}_S-{\bf r}_J||^3} + Gm_J \frac{{\bf r}_E-{\bf r}_J}{||{\bf r}_E-{\bf r}_J||^3},
$$
$$
\frac{d{\bf r}^2_E}{dt^2}=Gm_S \frac{{\bf r}_S-{\bf r}_E}{||{\bf r}_S-{\bf r}_E||^3} + Gm_J \frac{{\bf r}_J-{\bf r}_E}{||{\bf r}_J-{\bf r}_E||^3}.
$$
En las ecuaciones anteriores se utilizan los subíndices $S$, $J$ y $E$ para referirnos a las masas y vectores de posición de Saturno, Janus y Epimetheus, respectivamente.

El movimiento de Janus y Epimetheus es posible en gran medida gracias al valor de sus masas y de la masa de Saturno. Las masas de Janus y Epimetheus son $m_J = 1.8975 \times 10^{18}$kg y $m_E = 5.266 \times 10^{17}$kg, de tal forma que resultan comparables de 4 a 1; sin embargo, son despreciables en comparación a la masa de Saturno, que tiene un valor de $m_S = 5.6834 \times 10^{26}$kg. En la órbita de los tres cuerpos aparecen dos regiones características, las cuales describimos a continuación.

1. En una región, la separación entre los satélites es significativamente grande, de tal forma que la interacción entre los satélites es pequeña. En esta parte el sistema de tres cuerpos se aproxima por dos sistemas de dos cuerpos independientes: Saturno-Janus y Saturno-Epimetheus. Esto implica que los satélites orbitan alrededor de Saturno en la mayor parte de su órbita siguiendo órbitas elípticas.
2. La otra región se caracteriza por una separación mínima entre los satélites. A causa de esto, la contribución entre los satélites a la aceleración de cada uno resulta significativa.

Cada satélite tiene asociada una órbita interior y una exterior $($de acuerdo a la tercera ley de Kepler, asociamos semiejes mayores y periodos o de forma equivalente frecuencias angulares, a cada órbita – los valores correspondientes a las órbitas de Janus y Epimetheus se muestran en el Cuadro 1$)$.

Cuadro 1: Semieje mayor $a$ y frecuencia angular $\omega$ asociados a las órbitas de Janus y Epimetheus. Se utiliza el subíndice $int$ para interior y $ext$ para exterior, y unidades km y rad/h para distancia y velocidad angular, respectivamente.

	$a_{int}$	$a_{ext}$	$\omega_{int}$	$\omega_{ext}$
Janus	151450	151472	0.376222	0.376140
Epimetheus	151422	151500	0.376326	0.376036

Para la descripción de la órbita de los tres cuerpos iniciamos con la parte donde Janus lleva una órbita interior y Epimetheus una órbita exterior. Desde el punto en el que están más alejados los satélites, hasta el punto donde están más próximos, los satélites dan cerca de 1000 vueltas alrededor de Saturno. Cuando Janus está próximo a alcanzar a Epimetheus, región a la que se le denomina encuentro, sucede que la interacción entre los satélites hace que Janus pase de su órbita interior a exterior y Epimetheus de su órbita exterior a interior evitando que el primer satélite alcance al segundo ⁶. En una aproximación esférica, los radios asociados a Janus y Epimetheus son de 89.5km y 58km, respectivamente; lo que implica que, en caso de que no se contara con este cambio de órbitas se tendría una colisión física entre los satélites, ya que la separación entre los semiejes mayores de sus órbitas⁷ es solamente de 50km. Después del encuentro, Epimetheus se aleja lentamente de Janus $($relativamente – la diferencia entre las frecuencias angulares interior de Epimetheus y exterior de Janus, es muy pequeña$)$. Posteriormente, se requieren alrededor de 1000 vueltas por parte de los satélitespara que estos lleguen nuevamente a una distancia máxima, la cual se alcanza cuando están opuestos a Saturno. A partir de aquí, la descripción anterior se repite, intercambiando a Janus y Epimetheus en la descripción. De esta forma, ambos satélites orbitan alrededor de Saturno, sin que ocurra un alcance o rebase entre ellos. El esquema del encuentro se muestra en las Figuras 2 y 3).

En las órbitas de Janus y Epimetheus se tienen las siguientes características:

• • Janus y Epimetheus tienen la misma órbita promedio (ver curva punteada en Figuras 2 y 3
  • Con respecto a la órbita promedio, las órbitas interiores y exteriores de los satélites se separan en términos de un desplazamiento y una fracción de masas. La separación con respecto al promedio para la órbita de Janus es $\Delta_J = \pm \Delta \frac{m_E}{m_J+m_E} \approx \pm \frac{1}{5} \Delta$, mientras que para Epimetheus $\Delta_E = \pm \Delta \frac{m_J}{m_J+m_E} \approx \frac{4}{5} \Delta$, donde $\Delta = 50$km.
  • Existen dos tiempos característicos en la órbita de los tres cuerpos. Uno de ellos es el periodo orbital de los satélites, que es cercano de 17 horas. El otro es el periodo de la órbita de los tres cuerpos, que es cercano a 8 años.

Sistema rotatorio y la órbita de herradura

Toda la órbita de los tres cuerpos se puede apreciar en un sistema en rotación con velocidad angular constante $\omega_0$. Si $\omega_E$ y $\omega_J$ son las frecuencias angulares asociadas a los semiejes mayores, ya sea en la combinación $\omega_{Eext}$ y $\omega_{Jint}$, o $\omega_{Eint}$ y $\omega_{Jext}$; entonces, el valor adecuado para $\omega_0$ es un promedio de las frecuencias con los mismos coeficientes que aparecen en los vectores de centro de masa ⁵. Es decir,
$$
\omega_0 = \frac{m_E}{m_E+m_J} \omega_E + \frac{m_J}{m_E+m_J} \omega_J.
$$

En estos casos se satisface
$$
\begin{array}{c}
\omega_{Eext} < \omega_0 < \omega_{Jint},\\ \omega_{Jext} < \omega_0 < \omega_{Eint}. \end{array} $$ Los vectores en el sistema en rotación con frecuencia angular constante $\omega_0$, denotados con ${\bf s}$ se relacionan con los vectores del sistema inercial ${\bf r}$ mediante la expresión $$ {\bf s}(t) = \left( \begin{array}{cc} \cos (\omega_0 t) & \sin (\omega_0 t) \\ -\sin (\omega_0 t) & \cos (\omega_0 t) \end{array} \right) {\bf r}(t). $$ Si en el sistema inercial un cuerpo se mueve en órbita circular con frecuencia $\omega$, entonces en el sistema rotatorio el cuerpo se moverá en órbita circular con frecuencia $\widetilde \omega = \omega – \omega_0$. Sobre este sistema de referencia realizamos algunas observaciones:

• Si tuviéramos un satélite cuya frecuencia en el sistema inercial fuera $\omega = \omega_0$, entonces en el nuevo sistema de referencia el satélite estaría estático ya que $\widetilde \omega = \omega – \omega_0 = 0$.
• Para Janus y Epimetheus tenemos $\widetilde \omega_{Eext}<0$, $\widetilde \omega_{Jext}<0$, $\widetilde \omega_{Eint}>0$, $\widetilde \omega_{Jint}<0$. Si la frecuencia angular es positiva, por ejemplo $\omega_{Eint}>0$, entonces en el sistema rotatorio veremos al satélite correspondiente, en este caso Janus, moverse en el sentido original; pero, si la frecuencia angular es negativa entonces veremos al cuerpo moverse en sentido contrario al original.
• Las frecuencias angulares de Jano y Epimetheus en el nuevo sistema rotatorio son muy pequeñas ya que $\omega_0 = 0.37618$km/h $($ver Cuadro 1$)$.

En la Figura 4 se muestra la órbita de herradura en el periodo completo. En la herradura aparecen alrededor de 4000 risos, cada uno correspondiente a una vuelta por parte del satélite en cuestión alrededor de Saturno. Los risos se esperan ya que las órbitas de Janus y Epimetheus son la mayor parte del tiempo elípticas. Los retornos en cada herradura corresponden a cambios de órbita interior-exterior, o exterior-interior, por parte de los satélites.

Prometheus, Pandora y el anillo F

Históricamente los anillos de Saturno han sido nombrados en orden alfabético de acuerdo a su descubrimiento. Uno de los más interesantes es el anillo F debido a su compleja estructura.

El mecanismo que explica algunas propiedades del anillo F es el de lunas pastoras⁷. Las lunas pastoras de dicho anillo son Prometheus y Pandora, satélites de Saturno. Dichos cuerpos celestes delimitan al anillo, confinándolo, lo que hace que sea de menor tamaño en comparación de otros anillos $($por ejemplo, el anillo C tiene una medida radial cercana $17500$km, mientras que el anillo F mide radialmente alrededor de $100$km$)$. Prometheus sigue una órbita interior, con un semieje mayor $a_{P_R} = 139380$km y Pandora una órbita exterior, con semieje mayor $a_{P_A} = 14172$km. Las masas entre los satélites son $m_{P_R} = 1.595 \times 10^{17}$, $m_{P_A} = 1.371 \times 10^{17}$ difieren muy poco entre ellas. Prometheus, al ser el satélite interior, se mueve más rápido que las partículas del anillo F, de tal forma que las acelera, provocando que algunas de ellas salgan del anillo con una componente radial hacia Saturno. Este satélite, debido a su menor distancia al núcleo del anillo F es quien más afecta en la forma. Por otro lado, Pandora se mueve más lento que las partículas del anillo, de tal forma que las desacelera, dirigiéndolas hacia afuera del anillo con una componente radial en la dirección que sale de Saturno. La descripción de este mecanismo se muestra en la Figura 5. Existen diversas estructuras complejas en este anillo que han sido estudiadas ⁹.

.

Estudios recientes ¹⁰ sugieren que hay otros mecanismos que explican de forma más adecuada la forma del anillo F. Por ejemplo, la estructura se explica considerando solamente a Prometheus como luna pastora. En este caso, el movimiento elíptico ¹¹ de Prometheus, en precesión es fundamental para la explicación de la estructura del anillo $($ver Figura 6$)$.

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1. Satélites de un mismo planeta que orbitan a una distancia similar.↩︎
2. Sistema donde un cuerpo en ausencia de fuerzas está en reposo o tiene un movimiento rectilíneo uniforme.↩︎
3. Hellman, c. D. «Kepler and Tycho Brahe», Vistas in Astronomy 18 (1975): 223-230..↩︎
4. Brown, E. W. «Orbits, Periodic, On a new family of periodic orbits in the problem of three bodies», Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 71 (1911): 438-454.↩︎
5. Meyer, K. R., Offin, C. D. Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the N-Body Problem. Springer, 2018.↩︎
6. En esta región existe una fuerza significativa por parte de los satélites, lo que podría producir una aceleración muy grande entre ellos, dando lugar a órbitas no acotadas. Sin embargo, la gran masa de Saturno evita que esto suceda.↩︎
7. Las excentricidades de las órbitas de los satélites son pequeñas – para la descripción que realizamos podemos asumir que las órbitas de los satélites son circulares de radio igual al semieje mayor correspondiente.↩︎
8. Goldreich, P., Tremaine, S. «Towards a theory for the uranian rings», Nature 277 (1979): 97-99.↩︎
9. Tiscareno, M. S., Murray, C. D. Planetary Ring Systems. Properties, Structure, and Evolution. Cambridge, 2018.↩︎
10. Cuzzia, J. N., Whizin, A. D., Hogan, R. C., Dobrovolskis, A. R., Done, L., Colwell, J. E., Scargle, J. D. «Saturn’s F Ring core: Calm in the midst of chaos», Icarus 232 (2014): 157-175.↩︎
11. Aunque la excentricidad de la órbita de Prometheus es solamente 0.0022 es relevante en la dinámica del sistema.↩︎