Afinación Pitagórica

May not Music be described as the Mathematic of Sense, Mathematic as the Music of reason?}

James Joseph Sylvester,1865¹Fauvel, J.m Flood, R. & Wilson, R.J.. 2006. Music and mathematics: from Pythagoras to fractals. New York: Oxford University Press.

Probablemente todos hemos escuchado el nombre de las notas musicales do, do#, re, re#, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la# y si. Son las doce notas encontradas en un piano, por ejemplo, donde las teclas blancas son las notas naturales y las negras son los sostenidos (denotados por #). Juntas reciben el nombre de escala cromática o duodecafónica. Esta escala en particular es una de muchas, pero es conocida por su impacto en la historia de la música occidental y su influencia en la afinación temperada, utilizada en la actualidad. Además, el método utilizado para su construcción, la afinación pitagórica, es uno de los ejemplos más clásicos de la relación entre la música y las matemáticas.

El problema inicial es decidir cómo ajustar o afinar los sonidos en un instrumento musical. Esta afinación resuelve el problema bajo el supuesto de que si la proporción entre las frecuencias de dos notas distintas es un número entero, entonces juntas producen un sonido “agradable” o consonante. Esta creencia se le atribuye a los pitagóricos, de quienes se dice que experimentaban con los sonidos producidos por cuerdas de distintas longitudes.

Comenzamos con la razón de proporción 1:2. Así, tomamos la nota do de frecuencia $f$ y buscamos la nota con el doble de frecuencia, $2f$. Esta nueva nota la conocemos con el mismo nombre, do, pero más aguda. A este intervalo de do a do lo conocemos como octava. Al notar que la nota se repite al duplicar la frecuencia, concluimos que todas las notas deben encontrarse dentro del rango $[f,2f]$. De esta forma, asociamos a cada nota un número; para que una nota baje una octava (la misma nota pero más grave) dividimos entre 2 y para subir una octava multiplicamos por 2.

Ahora, si buscamos la nota con frecuencia $3f$, será sol. Pero este sol se encuentra una octava más arriba, y para ubicarla dentro de la octava que buscamos hay que dividir entre dos. Así, el sol más próximo al do inicial tendrá frecuencia $\frac{ 3 }{ 2 }f$. (Note que $\frac{ 3 }{ 2 }$ se encuentra en el rango $(1,2)$ ).

Siguiendo la misma lógica, la nota $4f$ será otro do, pues su frecuencia será el doble de la frecuencia del do agudo con frecuencia $2f$ mencionado antes. Después, en la nota $5f$ encontramos a mi. De nuevo dividimos entre dos las veces necesarias para ubicarla dentro del rango señalado, este número asociado a mi será $\frac{ 5 }{ 2^2 } = \frac{ 5 }{ 4 }$. En este punto podemos prescindir de la constante $f$, pues lo que interesa es la proporción. Algo interesante de mencionar es que estas notas forman el acorde de la tónica en la escala DoM: do, mi, sol.
Para encontrar el resto de las notas, es importante la nota sol ($\frac{3}{2}$) encontrada anteriormente.
Esta nota recibe el nombre de quinta, y el método de la afinación pitagórica se basa en encontrar la quinta de la quinta, y luego la quinta de ésta, y así sucesivamente.
Por tanto, la quinta de sol sería la nota $\frac{3}{2} (\frac{3}{2})$, que conocemos como re, pero dividimos una vez más entre dos, $\frac{3^2}{2^3}$, para ubicar al re más próximo al do inicial.
La quinta de re será la, $\frac{3^3}{2^4}$. Si continuamos con este proceso, obtenemos las notas restantes:

y ordenándolas, obtenemos

La décimo tercera nota, la quinta de fa, sería $\frac{3^{12}}{2^{19}} = 1.013643$, pero por considerarse muy próxima a 1, al do inicial, la escala se cierra aquí, terminando así con las doce notas conocidas. El número 1.013643 se conoce como “coma pitagórica”. Evidentemente, forzar una órbita trae consigo inconvenientes.

Una solución propuesta en el barroco es elegir una quinta que mida necesariamente una coma pitagórica menos,
y ubicar este desfase entre dos sonidos que no se utilicen tanto, por ejemplo, entre el sol# y el re#.
Así, se afinarán tres notas “hacia abajo” del do inicial, es decir, dividiendo entre $\frac{3}{2}$,
y el resto “hacia arriba”, multiplicando. Así, el fa tendría una frecuencia de $\frac{2^2}{3} = 1.33333$, el sib, $\frac{2^4}{3^2} = 1.77778$ y el mib
$\frac{2^5}{3^3} = 1.18519$, note que utilizamos bemoles (b) para distinguirlos de la# y re# encontrados
anteriormente. De hecho, quien esté familiarizado con el piano podrá notar que en la práctica un mib será igual a un re#, por ejemplo, pero en la teoría, por lo explicado en este párrafo, son distintos.

Otra solución fue continuar hasta 53 notas, pues $3^{53}$ es muy próximo a $2^{84}$.

La solución final para utilizar doce semitonos en una octava fue la afinación temperada, es decir, utilizar el semitono como $s = 2^{\frac{1}{12}}$. Así, la frecuencia de cada nota se encuentra por $2^{\frac{n}{12}}$ donde $n$ es el número de semitono ($n = 0,1,…,11$). Aunque se pierde la razón de la «quinta» que originó la construcción de esta escala.

La afinación en general es solo uno de los tantos aspectos de la música en los que pueden entrar las matemáticas. Espero que este sencillo ejemplo motive al lector a indagar y reflexionar más sobre esta relación interdisciplinaria que durante siglos ha inspirado a ambos, músicos y matemáticos.

²Gaínza, J. J. G. 2004. Afinación y temperamentos históricos.(Vol. 94).
Alianza Editorial.