Modelando movimiento estelar

We are a way for the universe to know itself

Carl Sagan

Introducción

En 1989 la Agencia Espacial Europea $($ESA, por sus siglas en inglés$)$ lanzó al espacio el satélite Hipparcos $($High Precision Parallax Collecting Satelite$)$ con la meta de estudiar el cambio en la posición aparente de 100,000 estrellas. Este cambio, dado por la traslación de la tierra en torno al sol, se conoce como paralaje, el cual es medido en arcosegundos $($3600 arcsec = 1 grado$)$ y nos sirve para conocer la distancia de la tierra a la estrella. $($ver »Aplicaciones relacionadas»$)$

Hipparcos también midió el movimiento propio de las estrellas. Este es lo que una estrella se desplaza simplemente porque orbita en torno al centro de la galaxia.

En este artículo se usará el paralaje, en conjunto con el movimiento propio de una estrella, para modelar con ecuaciones paramétricas el movimiento aparente de una estrella en nuestra bóveda celeste.

Coordenadas

Podemos pensar en la bóveda celeste como una esfera de radio dado que cubre la tierra. Luego, para identificar un punto en ella, sólo hacen falta dos ángulos.

Definición 1. Las coordenadas eclípticas son aquellas que toman como referencia el plano de traslación de la tierra. Sobre este plano se mide la longitud eclíptica, $\lambda$, que vale cero en la dirección del sol durante el equinoccio de marzo, y la latitud eclíptica, $\beta$, que mide el ángulo entre el astro y el plano de traslación.

Definición 2. Las coordenadas ecuatoriales son aquellas que toman como referencia el plano de rotación de la tierra. Sobre este plano $($i.e, sobre el ecuador$)$ se mide la ascención recta, $\alpha$, que vale cero en la dirección del sol durante el equinoccio de marzo, y la declinación recta, $\delta$, que mide el ángulo entre el astro y el plano ecuatorial.

Los datos recolectados por Hipparcos ubican a las estrellas en coordenadas ecuatoriales y nosotros necesitamos coordenadas eclípticas. Considerando a $\epsilon$ como la inclinación del plano ecuatorial respecto al plano de traslación, el cambio de coordenadas está dado por las ecuaciones

$$ \sin(\beta) = \sin(\delta)\cos(\epsilon)-\cos(\delta)\sin(\epsilon)\sin(\alpha) $$

$$ \tan(\lambda) = \frac{\tan(\delta)\sin(\epsilon)}{\cos(\alpha)}+\cos(\epsilon)\tan(\alpha).$$

Plano y recta de visión

Definición 3. La recta que une el astro observado con el sol es la recta de visión y el plano perpendicular a esta es el plano de visión.

Desde una estrella en las coordenadas $($$\lambda_0$ , $\beta_0$$)$, la órbita de la tierra se verá como la proyección de la órbita sobre el plano de visión. Poniendo en un sistema de coordenadas XYZ el plano z = 0 como el plano de traslación, obtenemos el cambio de coordenadas¹Estas ecuaciones no son las normalmente usadas para el cambio de coordenadas esféricas ya que el ángulo $\beta_0$ parte del plano XY y no del eje z esféricas a cartesianas:

$$x_0 = \cos(\beta_0)\cos(\lambda_0)$$
$$y_0 = \cos(\beta_0)\sin(\lambda_0)$$
$$z_0 = \sin(\beta_0)$$

donde r = 1. Sea $v_0$ el vector director de la recta de visión. Luego, el plano de visión es el conjunto ortogonal a $v_0$. Esto es,

$$ PV = \{(x,y,z): xx_0+yy_0+zz_0 = 0\}. $$

Sea $(x_1,y_1,0)$ un punto en la órbita de la tierra en torno al sol. Luego, la recta que une el punto con el plano de manera perpendicular $($paralela a la recta de visión$)$ es de la forma

$$ l = (x_1,y_1,0) + s(x_0,y_0,z_0). $$

Si sustituimos puntos de esta forma en la ecuación del plano $($para encontrar la intersección$)$ obtenemos que

$$ s = -\frac{x_1x_0+y_1y_0}{x_0^2+y_0^2+z_0^2}. $$

Recordando $||v_0||$ = 1 y sustituyendo en la ecuación de $l$, las nuevas coordenadas $(x,y,z)$ de la proyección del movimiento de la tierra sobre el plano son:

$$ x = x_1(1-x_0^2) – y_1x_0y_0 $$
$$ y = -x_1x_0y_0 + y_1(1-y_0^2) $$
$$ z = – x_1x_0z_0 – y_1y_0z_0. $$

Ahora bien, nos interesa que estas coordenadas no sean tridimensionales sino bidimensionales, para poder representarlas en un plano cartesiano. Luego, buscaremos una base {$e_1$,$e_2$} tal que:

1. $e_1$ y $e_2$ sean ortonormales
2. $e_1$ y $e_2$ coincidan con el plano de visión de tal modo que para un observador en la estrella de interés, $e_1$ y $e_2$ sean su base canónica de observación astronómica.

Pedimos que $e_1$ coincida con el plano de visión y con el plano de traslación. Así, $e_1$ debe estar sobre la recta $xx_0 + yy_0 = 0$. Además, como pedimos que $e_{1}$ sea un vector unitario, necesitamos que $x^2 + y^2 = 1.$ De estas ecuaciones llegamos a que

$$ x = \pm \sqrt{\frac{y_0^2}{x_0^2+y_0^2}} $$
$$ y = \pm \sqrt{\frac{x_0^2}{x_0^2+y_0^2}}. $$

Para aclarar la ambigüedad del signo $\pm$ debemos decidir en cuál de las dos intersecciones entre la recta y el círculo se halla $e_1$. Por convención, pedimos que $e_1$ apunte a la derecha desde la perspectiva de la estrella. Es decir, $e_1$ quedará en el cuadrante adyacente a la derecha del de $($$\lambda_0$ , $\beta_0$$)$. El signo estará dado por las funciones

$$ sgnx(\lambda_0) = \frac{\cos(\lambda_0+\frac{\pi}{2})}{|\cos(\lambda_0+\frac{\pi}{2})|} = \frac{-\sin(\lambda_0)}{|\sin(\lambda_0)|}$$
$$ sgny(\lambda_0) = \frac{\sin(\lambda_0+\frac{\pi}{2})}{|\sin(\lambda_0+\frac{\pi}{2})|} = \frac{\cos(\lambda_0)}{|\cos(\lambda_0)|}. $$

Finalmente,

$$ (1,0)’ = e_1 = (sgnx(\lambda_0)\sqrt{\frac{y_0^2}{x_0^2+y_0^2}},sgny(\lambda_0)\sqrt{\frac{x_0^2}{x_0^2+y_0^2}},0) = (a_1,b_1,0).$$

Ahora, queremos que $e_2$ sea perpendicular a $e_1$ y que esté en el plano de visión. Luego, como $(-b_1,a_1,z)$ es ortogonal a $e_1$ para toda $z$ en lo reales, solo necesitamos elegir la z que está en el plano de visión para $x = -b_1,$ $y = a_1$. Esto es,

$$ e_2′ = (-b_1,a_1,\frac{b_1x_0}{z_0} – \frac{a_1y_0}{z_0}).$$

Para obtener el verdadero vector unitario $e_2$ necesitamos dividir entre la norma de $e_2’$. Obtenemos que:

$$ e_2 = (\frac{-b_1}{||e_2’||},\frac{a_1}{||e_2’||},\frac{b_1x_0}{z_0||e_2’||} – \frac{a_1y_0}{z_0||e_2’||}) = (a_2,b_2,c_2).$$

Nótese que $c_1$ también existe pero siempre es cero. Ahora bien, obtenemos la transformación lineal

$$ \begin{pmatrix}
a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2 \\
0 & c_2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x’ \\
y’
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}
$$

en donde $(x’,y’)$ corresponde a las nuevas coordenadas bidimensionales del plano de visión. Claramente, esta transformación lineal no es sobreyectiva y por lo tanto no tiene inversa. Sin embargo, por su construcción sabemos que si $(x’,y’)$ es cualquier par en $\mathbb{R}^2$ entonces la terna obtenida estará sobre el plano de visión. Si quisieramos sacar una inversa, de modo que

$$ A^{-1}\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x’ \\
y’
\end{pmatrix}$$

podríamos garantizar que la terna original estará sobre el plano de visión $($esto, por construcción, lo logramos$)$. Sabiendo eso y considerando que z está determinada en la ecuación del plano por $x$ e $y$ podemos ignorar la tercera ecuación de la matriz original A y así tener una matriz invertible de 2×2. Luego,

$$ \begin{pmatrix}
x’ \\
y’
\end{pmatrix} = A^{-1}\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
$$

y obtenemos así una manera de representar en $\mathbb{R}^2$ lo que un observador en una estrella vería que es la órbita de la tierra. Si alguien estuviera situado en Alpha Centauri C, y no cambiara su posición, entonces vería la Figura 1:

En esta Figura 1, tenemos los ejes $(x’,y’)$ del plano de visión y las unidades en UA. La órbita de la tierra en torno al sol es elíptica pero prácticamente circular. Luego, se modeló con
\begin{align*}
x &= \cos(t)\\
y &= \sin(t)\\
z &= 0.
\end{align*}

Ecuaciones de movimiento

Nótese que si ahora queremos ver la estrella desde la tierra, solo debemos reflejar respecto al origen y multiplicar por $par$ lo que la estrella ve de la tierra. ²Es conveniente señalar que aunque las estrellas se encuentran en la bóveda celeste, con coordenadas angulares, como su movimiento se restringe a una sección diminuta de la misma podemos aproximarlo con $\mathbb{R}^2$

Hipparcos también midió el movimiento propio en dos factores: $k_1$ y $k_2$, el desplazamiento en $($$\lambda$, $\beta$$)$ a lo largo de un año. Así pues, uniendo ecuaciones tenemos:

$$ \begin{pmatrix} \lambda\\\beta \end{pmatrix}
= -par*A^{-1}\begin{pmatrix}
\cos(t)(1-x_0^2) – \sin(t)x_0y_0\\
-\cos(t)x_0y_0 + \sin(t)(1-y_0^2)
\end{pmatrix}
+ \frac{t}{2\pi}\begin{pmatrix}
k_1\\
k_2
\end{pmatrix}
– \frac{7}{4}\begin{pmatrix}
k_1\\
k_2
\end{pmatrix}
.$$

El último sumando se incluye ya que Hipparcos tomó la posición de la estrella en J1991.25 como origen absoluto de sus mediciones. Luego, es preciso desplazar el origen.

La Figura 2 crea la curva que traza Alpha Centauri C en la bóveda celeste usando las ecuaciones aquí descritas.

Por otro lado, las observaciones de Hipparcos producen la Figura 3. En ambas figuras las unidades de los ejes son de mas $($mili arcsec$)$.

Por supuesto, al hacer la modificación en que el origen es la posición de la estrella en la fecha J1991.25, el sistema de coordenadas resultante ya no es ni Ecuatorial ni Eclíptico, sino astro-centrado.

Para este caso en particular, como la $\beta_0$ con la que trabajamos era negativa, se negó el signo del seno. En el tiempo cero, el astro está en el extremo derecho de la curva y al final se encuentra en el extremo izquierdo.

Se adjunta tabla con datos usados

Aplicaciones relacionadas

Usando trigonometría sabemos que
$$ L(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}UA, $$

donde 1 UA = 149 597 870 700 m, lo que representa la distancia media de la tierra al sol. Aquí $\theta$ representa el paralaje, mejor entendido por el ángulo dado en grados en la estrella observada cuando construimos el triángulo recto Tierra – sol – estrella y L es la distancia del sol a la estrella.

Luego, como $\theta \approx 0$, entonces $\tan(\theta) \approx \theta$. Finalmente, definiendo un parsec como la distancia a una estrella con un paralaje de $\theta = 1$ arcsec, obtenemos

$$ L(\theta) = \frac{1}{\theta}pc $$

y 1 pc = 3.2616 al (años luz). Alpha Centauri C tiene un paralaje de 772.33 mas y su distancia es de 1.2947 pc = 4.22 años luz.

 

³Lehman, Charles.Geometría Analítica. Editorial Limusa, 1980.
⁴ESA The Hipparcos and Tycho Catalogues, ESA SP -1200 (1997)
⁵Conversión de coordenadas ecuatoriales a coordenadas eclípticas
⁶Wikipedia, Consultado el 20 de julio del 2019. https://es.wikipedia.org/wiki/Conversión_de_coordenadas_ecuatoriales_a_coordenadas_eclípticas