Zona Olímpica

La función piso $f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor$ regresa el máximo entero menor o igual a $x$ . Encuentre $x$ tal que:

$\begin{equation*} x \lfloor x \rfloor =2020. \end{equation*}$
Encuentre una función tal que:

$\begin{equation*} f'(x)=f^{-1}(x). \end{equation*}$
Pruebe que para cualquier número natural $n$ el número:

$\begin{equation*} n^{3}+11n \end{equation*}$

es divisible entre 6.
Sean $a,b$ dos enteros tales que $\frac{a}{b}<1$ . Encuentre dos enteros $c,d$ tales que:

$\begin{equation*} \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{ac}{bd}=1. \end{equation*}$
Sean $a,b$ y $c$ tres números positivos que satisfacen el teorema de Pitágoras:

$\begin{equation*} a^{2}+b^{2}=c^{2}. \end{equation*}$

Pruebe que:

$\begin{equation*} a+b\leq c\sqrt{2}. \end{equation*}$
Pruebe que ningún entero cuyos dígitos sumen 15 puede ser un cuadrado perfecto.¹