Una prueba «nueva» de que √2 no es racional

¹Con motivo del numero 50 de la revista, este articulo se trata de una reimpresión del articulo original en el primer numero de Laberintos e InfinitosLos griegos, en realidad los pitagóricos $($hace más de 2500 años$)$ descubrieron que el número x tal que x² = 2 no es un número racional pero que sí se puede construir; de esta manera supieron que se encuentra en la recta real y lograron demostrar que no es racional.

Hace aproximadamente 25 años²A partir del año en que se publico el primer número de Laberintos e Infinitos apareció una prueba novedosa hecha por el matemático alemán Estermann, misma que seguiremos a continuación. Para ello usaremos la notación moderna $√2$.

Teorema 1. $√2$ no es racional.

Demostración. Para demostrar esto, supondremos que $√2$ es racional y llegaremos a una contradicción.
Como $√2$ es racional $\Rightarrow \exists$ un número $k ∊ ℕ$ mínimo tal que $k$$√2$ es entero.
Además, como $$1<\sqrt{2}<2,$$
se tiene que $$k<k\sqrt{2}<2k$$
así se tiene $$0<k\sqrt{2} – k$$ al restar $k$ de ambos lados de la primera desigualdad.
Además, restando $k$ a la segunda desigualdad, obtenemos $$k\sqrt{2} – k<k.$$
El número $k\sqrt{2}$ es entero y $k$ también, así que la diferencia es un entero. Multipliquémoslo por $\sqrt{2}:$ $$ (k\sqrt{2} -k) \sqrt{2} = 2k – k\sqrt{2}.$$
Como $2k$ es entero y $k\sqrt{2}$ también, su diferencia es un entero, así que $(k\sqrt{2}-k)\sqrt{2}$ es un entero donde $k\sqrt{2}-k$ es entero, en realidad es un natural ya que $0<k\sqrt{2}-k,$ lo cual contradice la minimalidad de $k \Rightarrow\Leftarrow$
Así que hemos obtenido una contradicción, lo cual prueba que $\sqrt{2}$ no es racional.