Evolución de la noción de número

Los números naturales¹Con motivo del número 50 de la revista, este artículo se trata de una reimpresión del artículo original en el primer número de Laberintos e Infinitos.

La necesidad de contar condujo a la primera noción del número: el número natural. Los números naturales han estado presentes en todas las civilizaciones y se han representado de distintas maneras. Los matemáticos de la India fueron los primeros en introducir símbolos individuales para cada uno de los números del 1 al 9. Es probable que el símbolo «1» provenga del dedo levantado, que es la manera más sencilla y natural que tenemos para decir «uno». Otra manera de indicar el uno es por medio de una vara colocada en el suelo, por esa razón el uno se indicaba también por medio de una línea horizontal. El dos se expresaba por medio de dos líneas horizontales = y el tres por medio de tres líneas ≡. Escrito con rapidez el símbolo = se transformó en z, el cual a su vez se convirtió en 2. De manera similar el símbolo ≡evolucionó hasta convertirse en el moderno 3. El origen de los otros símbolos no es claro, lo cierto es que se fueron modificando en el transcurso de los siglos hasta llegar a su forma actual.

Pitágoras, el famoso matemático griego que vivió en el siglo V a.C., creía que los números naturales gobernaban el universo. Los pitagóricos identificaban alguna propiedad con cada número natural. El número uno era considerado como el símbolo de la vida, de la creación y de la razón.

Un subconjunto particularmente importante de los números naturales es el conjunto de los números primos. Un número natural mayor que uno se dice que es primo si sus únicos divisores son el uno y él mismo. En el siglo III a.C. Euclides demostró que el número de primos es infinito. El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural distinto de uno se puede escribir como producto de dos primos, además esta representación es única excepto por el orden en el que aparecen los primos.

Números racionales positivos

Si la necesitad de contar condujo a la noción de número natural, la necesidad de medir condujo a la noción de número racional positivo. Los números racionales positivos fueron usados por algunas de las primeras civilizaciones mucho antes de que aparecieran el cero y los enteros negativos. Consideremos una semirrecta y marquemos un punto sobre ella que nos sirva como unidad de longitud. La unidad de longitud se puede pensar como una representación del número natural uno. A partir de esta unidad podemos identificar los demás números naturales. Si dividimos el segmento unitario en n partes iguales, el primer punto de la subdivisión se denota con el símbolo $\dfrac{1}{n}.$ El símbolo $\dfrac{m}{n}$ se utiliza para representar el punto obtenido al colocar m veces sobre la recta el punto $\dfrac{1}{n}.$ El uso de la palabra número $($originalmente reservada a los números naturales$)$ para referirse al símbolo $\dfrac{m}{n}$ se justifica por el hecho de que es posible sumar y multiplicar fracciones, ya que estas operaciones cumplen propiedades similares a las operaciones usuales de números naturales.

Números irracionales

En el siglo V a.C. los matemáticos griegos descubrieron, para su sorpresa, que existían segmentos de la recta que no son múltiplos racionales de un segmento unitario dado. Consideremos, por ejemplo, la longitud r de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles, cuyos lados tienen por longitud la unidad.

De acuerdo con el teorema de Pitágoras, se debe cumplir que r² = 1² + 1² = 2. La demostración la presentamos a continuación:

Demostración. Supongamos que existe un número racional r tal que r² = 2. Como r es racional, podemos representarlo en la forma: $r = \dfrac{n}{m}.$ Podemos suponer además, sin pérdida de generalidad, que n y m no tienen factores comunes.

La suposición de que r² = 2 implica que $\dfrac{n^{2}}{m^{2}} = 2,$ esto a su vez implica que n² = 2m², es decir, n² es par. De aquí se sigue que ⁿ también debe ser par, es decir, n = 2k para algún entero k.

Por lo tanto n² = 4k² = 2$($2k²$)$ de modo que m² = 2k², es decir, m² es par y por consiguiente m es par, lo cual contradice la hipótesis de que n y m no tienen factores comunes.

En conclusión, existen segmentos de recta que no corresponden a números racionales. Aquellas magnitudes que no son múltiplos racionales de un segmento unitario dado fueron llamadas por los griegos magnitudes inconmensurables. Los pitagóricos trataron de mantener en secreto al existencia de las magnitudes inconmensurables. Se dice que Hipaso, el discípulo que reveló el secreto, murió en circunstancias misteriosas. Los puntos de una recta que no corresponden a números racionales son llamados números irracionales.

El cero y el sistema posicional decimal

Durante el siglo VI d.C. el comercio comenzó a adquirir gran importancia en la India. Las necesidades del comercio condujeron a la noción del cero y al uso de enteros negativos. El cero permitió a los matemáticos de la India desarrollar el sistema posicional decimal que se usa en la actualidad. En este sistema es posible representar cada entero positivo a partir de los diez dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Por ejemplo, el símbolo 203 representa el número 2 × 10 + 0 × 10 + 3 × 1. El sistema posicional decimal permitió a los matemáticos de la India desarrollar métodos eficientes para sumar y multiplicar números.

Cuando los árabes eran nómadas tenían palabras para los números, pero no símbolos. Los árabes adoptaron el sistema de numeración de la India y lo utilizaron ampliamente. En la primera mitad del siglo IX d.C., el matemático árabe Al-Khwarizmi escribió un libro donde explicaba con detalle este sistema de numeración. Los europeos, que usaban hasta entonces los numerales romanos, comenzaron a llamar a los nuevos símbolos numerales arábigos. El nombre Al-Khwarizmi, pronunciado «algorismi», dio lugar a la palabra guarismo para indicar las cifras de un número. La palabra «algorismi» también dio lugar a la palabra algoritmo para referirse a una sucesión finita de pasos para calcular algo.

Los números reales

Los números negativos no fueron inmediatamente aceptados por los matemáticos europeos. En el siglo XVI los números irracionales positivos que se usaban con mayor libertad, pero se evitaba usar números negativos, los cuales se consideraban «absurdos». A principios del siglo XVII se empezó a usar el signo menos para la resta y para denotar números negativos.

Pasó mucho tiempo antes de que los números reales fueran pensados intuitivamente como puntos en una recta dirigida, con los números positivos a la derecha del cero y los negativos a la izquierda. No fue sino hasta la segunda mitad del siglo XIX cuando la noción de número real tuvo un análisis crítico. En 1872 Dedekind logró por fin capturar la esencia de la «continuidad» de la recta construyendo los números reales a partir de los números racionales. La construcción rigurosa del sistema de los números reales permitió colocar al análisis matemático en una base sólida.

Los números complejos

En el siglo XVI, cuando la mayoría de los matemáticos miraban con recelo a los números negativos, el matemático italiano Cardano se dio cuenta que permitir la existencia de raíces cuadradas de números negativos le permitía resolver cualquier ecuación cuadrática. Como no existen números reales cuyos cuadrados sean negativos, estos números fueron llamados números «imaginarios». Los números formados por la suma de un número real y un número imaginario fueron llamados números complejos. Cardano observó que era posible realizar operaciones con números complejos, y que estas operaciones tenían las mismas propiedades que la suma y el producto usual de números reales. La existencia de los números complejos permitió a Cardano obtener una fórmula para resolver ecuaciones cúbicas.

En el siglo XVII el matemático suizo Euler mostró la profunda relación entre los números complejos y las funciones trigonométricas. En el siglo XIX el matemático alemán Gauss demostró que toda ecuación polinomial con coeficientes reales tiene al menos una solución en los números complejos. Este resultado es conocido como el teorema fundamental del álgebra.

²Courant, Richard. Robbins, Herbert. $\underline{What is Mathematics?}$. Editorial Oxford University Press, 1996.
³Kline, Morris. Mathematical Thought from the Ancient to Modern Times. Editorial Oxford University Press, 1972.
⁴Perero, Mariano.Historia e Historias de Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, 1994.
⁵Struik, Dirk J. A Concise History of Mathematics. Dover, 1967.
⁶Willerding, Margaret F. Los numerales indoarábicos, en Antología de Matemáticas. Lecturas Universitarias, UNAM, 1971.