Modelo estocástico de la malaria

El objetivo del presente artículo es brindar una perspectiva introductoria a la formulación, análisis y simulación numérica de modelos epidemiológicos estocásticos. Como herramienta principal se toman los modelos epidemiológicos con ecuaciones diferenciales ordinarias $($EDO$)$ con los cuales se construyen los sistemas dinámicos estocásticos análogos.

Es importante resaltar que las ecuaciones diferenciales estocásticas $($EDE$)$ modelan procesos ruidosos. Para este fin, se añade un componente aleatorio que influye en la evolución de un sistema a lo largo del tiempo, mientras que las ecuaciones diferenciales ordinarias son de carácter determinista. Ambos tipos de ecuaciones diferenciales implican la evolución de una variable en el transcurso del tiempo. A pesar de esto, la gran diferencia se encuentra en el tipo de soluciones del sistema, es decir, mientras que las soluciones deterministas son funciones, las soluciones estocásticas son densidades de probabilidad.

En este artículo estudiaremos la ecuación de la malaria con dos tipos diferentes de aleatoriedad: Cadenas de Markov en tiempo continuo $($CMTC$)$ y ecuaciones diferenciales estocásticas $($EDE$)$. Tanto en las CMTC como en las EDE, la variable temporal es continua, $t\in[0,\infty)$. Sin embargo, las variables de estado son discretas para CMTC y continuas para EDE.

El modelado estocástico de las epidemias resulta importante cuando el número de individuos infectados/infecciosos es pequeño o cuando hay variabilidad en la transmisión, la recuperación u otros factores, conocidos como variabilidad demográfica y variabilidad ambiental, que afectan el resultado epidemiológico.

Es indispensable notar las diferencias entre los modelos deterministas y los modelos estocásticos, ya que estos contemplan todas las contingencias con probabilidades apropiadas, sin embargo son necesariamente mucho más complicados de manejar que un modelo determinista. Para las unidades pequeñas consideradas individualmente, esta complicación puede ser manejable, pero ¿vale la pena? A continuación, se busca convencer al lector de que estas complicaciones, que parecen innecesarias, son esenciales dentro de la epidemiología y en especial en grupos pequeños.

Nociones básicas de procesos estocásticos

Cadenas de Markov

Definición 1 $($Proceso Estocástico¹Luis Rincón. Introducción a los procesos estocásticos. Universidad Autónoma de México, 2019.$)$. Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias $\{X_t : t\in T\}$ parametrizada por un conjunto $T$, llamado espacio parametral, en donde las variables toman valores en un conjunto $S$ llamado espacio de estados.

Es decir, un proceso estocástico es un sistema que puede estar en cualquier punto del espacio de estados $S$. Suponga que el sistema cambia de un estado a otro a lo largo del tiempo de acuerdo con una cierta ley de movimiento, y $X_t$ indica el estado del sistema al tiempo $t$.

Definición 2 $($Propiedad de Markov$)$. Un proceso estocástico se dice que cumple la propiedad de Markov si para todo $t_1 < t_2 < … < t_n < t \in T$ y todo $x_1,x_2,…,x_n$ se cumple $$P(X_t\leq x : X_{t_1}=x_1, X_{t_2}=x_2, …, X_{t_n}=x_n) = P(X_t\leq x : X_{t_n}=x_n).$$

Las cadenas de Markov, introducidas por el matemático ruso Andrey Markov alrededor de 1905, son un proceso estocástico a tiempo discreto con espacio de estados discretos y que cumple la propiedad de Markov.

Proceso Browniano

Definición 3 $($Movimiento Browniano²Luis Rincón. Introducción a los procesos estocásticos. Universidad Autónoma de México, 2019.$)$. Un movimiento Browniano unidimensional de parámetro $\sigma^2$ es un proceso estocástico $\{B_t : t\geq 0\}$ con valores en $\mathbb{R}$ que cumple las siguientes propiedades:

1. $B_0=0$
2. Las trayectorias son continuas.
3. El proceso tiene incrementos independientes.
4. Para cualesquiera tiempos $0 \leq s < t$, la variable tiene incrementos $B_t-B_s$ independientes con distribución $\mathcal{N}(0,\sigma^2(t-s))$.

Modelo determinista para la malaria

La malaria o paludismo es una infección que se manifiesta en forma de fiebre, escalofríos, sudoración, vómitos y dolor de cabeza y es muy peligrosa, en especial para las mujeres embarazadas, que son particularmente vulnerables al paludismo, pues aumenta el riesgo de aborto espontáneo, muerte intrauterina, parto prematuro y bajo peso al nacer, una importante causa de mortalidad del lactante. En México, únicamente Tlaxcala está certificada como estado libre de transmisión del virus, y a pesar de que desde el año 2000 se han reducido en $75\%$ los casos de paludismo en territorio nacional, sigue siendo un problema grave en comunidades rurales³Secretaría de Salud. Paludismo.. Es importante estudiar la propagación de la malaria ya que, de acuerdo con la Organización mundial de la Salud (WHO), en el 2017 se estimaron 219 millones de casos en 87 países y el número estimado de muertes por malaria fue de 435,000 en 2017⁴Fact sheet about malaria.

La malaria es causada por el parásito Plasmodium. Un mosquito infectado transmite el parásito a un huésped susceptible por medio de su picadura. Esta infección es una enfermedad transmitida por vector, en este caso el mosquito hembra.

Sir Ronald Ross fue uno de los primeros científicos en formular un modelo matemático para la propagación de la malaria entre un insecto vector y un huésped humano. Ross también inició organizaciones para la prevención de la malaria en India y Ceilán. Además gracias a sus muchas contribuciones a la epidemiología obtuvo el premio Nobel en fisiología, o medicina, en 1902. Sus artículos científicos publicados por la Royal Society en 1915 y 1916, representaron un profundo interés matemático que no se limitó a la epidemiología, sino que lo llevaron a hacer contribuciones materiales a las matemáticas puras y aplicadas. Los relacionados con la «patometría» son los más conocidos y, 40 años después, constituyen la base de gran parte de la comprensión epidemiológica de las enfermedades transmitidas por insectos⁵The nobel prize in physiology or medicine 1902.. En el modelo de Ross para la malaria se definen las siguientes variables:

• $M$ constante es el número total de vectores,
• $H$ constante es el número total de huéspedes,
• $S$ variable que mide el número de humanos Susceptibles,
• $I$ variable que mide el número de humanos Infectados,
• $U$ variable que mide el número de vectores sanos, y
• $V$ variable que mide el número de vectores infecciosos

Un mosquito hembra requiere un consumo mínimo de sangre para la reproducción y se toma como supuesto que un mosquito realiza $k$ picaduras por unidad de tiempo para cubrir con este requerimiento. Otro supuesto importante es que el número total de picaduras por la población total de mosquitos es dependiente en el número total de mosquitos pero no en la cantidad de huéspedes, solamente en la proporción de huéspedes. La probabilidad por picadura de que un mosquito infeccioso transmita malaria es $p$ y la probabilidad de que un mosquito sano adquiera la infección es $q$ de tal forma el parámetro $\alpha = kp$ es la tasa de transmisión de un mosquito infectado a un huésped susceptible y $\beta = kq$ es la tasa de adquisición de un huésped infectado a un mosquito sano. La tasa de recuperación de los huéspedes es $\gamma$ y la tasa de defunción y de nacimiento de los mosquitos es $\mu.$ La tasa de nacimiento y defunción de los huéspedes es insignificante con respecto al marco de tiempo de modelado y se toma como supuesto que son cero.

Con los supuestos anteriores, el modelo de malaria⁶Linda J.S. Allen. A primer on stochastic epidemic models: Formulation, numerical simulation, and analysis. Infectious Disease Modelling, 2$($2$)$:128–142, May 2017 toma la forma:

$$
\left\{\begin{array}
{l}\dot{S} = -\alpha{V}\frac{S}{H} + \gamma{I}
\\ \dot{I} = \alpha{V}\frac{S}{H} – \gamma{I}
\\ \dot{U} = -\beta{U}\frac{I}{H} + \mu{M} – \mu{U}
\\ \dot{V} = \beta{U}\frac{I}{H} – \mu{V}
\end{array}\right.
$$

Observación. A lo largo de este documento se utiliza la notación $\dot{*} = \frac{d}{dt}(*)$.

A continuación enunciamos y ocupamos un resultado de Driessche y Watmough⁷P. van den Driessche and James Watmough. Reproduction numbers and sub-thresholdendemic equilibria for compartmental models of disease transmission. Mathematical Biosciences, 180$($1-2$)$:29–48, November 2002. para encontrar el valor de $\mathcal{R}_0$.

Definición 4 $($Matriz de la Siguiente Generación$)$. Sea $\vec{X}$ el vector de las clases infectadas, como los expuestos, infecciosos, etc. Y sea $\vec{Y}$ el vector de las clases no infectadas tales como susceptibles, recuperados, etc. Entonces, $\frac{d\vec{X}}{dt}=\mathcal{F}(X,Y) -\mathcal{V}(X,Y)$ donde:

• $\mathcal{F}(X,Y):$ Es el vector de las tasas de nuevas infecciones, el flujo de $\vec{Y}$ a $\vec{X}$.
• $\mathcal{V}(X,Y):$ Es el vector de las otras tasas. Incluye tasas del flujo de $\vec{X}$ a $\vec{Y}$, flujos dentro de $\vec{X}$ y los flujos donde población deja el sistema.

Además dado el Equilibrio libre de enfermedad $(0,\bar{Y})$ se tiene que $\mathcal{F}(0,\bar{Y}) = \mathcal{V}(0,\bar{Y}) = 0$ de forma que:

$$D\mathcal{F}|_{(0,\bar{Y})} = \left[\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial X} \frac{\partial\mathcal{F}}{\partial Y}\right]_{(0,\bar{Y})} = \left[\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial X}|_{(0,\bar{Y})} 0\right]\\ D\mathcal{V}|_{(0,\bar{Y})} = \left[\frac{\partial\mathcal{V}}{\partial X} \frac{\partial\mathcal{V}}{\partial Y}\right]_{(0,\bar{Y})} = \left[\frac{\partial\mathcal{V}}{\partial X}|_{(0,\bar{Y})} 0\right]$$

Sean $F = (\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial X})_{(0,\bar{Y})}, V = (\frac{\partial\mathcal{V}}{\partial X})_{(0,\bar{Y})}$, entonces se define la matriz $FV^{-1}$ como la Matriz de la Siguiente Generación.

El radio espectral, el eigenvalor dominante, de $FV^{-1}$ se denota por $\mathcal{R}_0$.

Regresando al sistema determinista para la malaria de Ross, observamos que el equilibro libre de enfermedad es: $S = H, U = M, I = V = 0.$ Si linealizamos las ecuaciones diferenciales para $I$ y para $V$ alrededor del equilibrio libre de enfermedad, obtenemos las matices para la matriz de la siguiente generación:
$$
F – V
=
\left[
\begin{array}{cc}
0&\alpha\\
\beta\frac{M}{H}&0\\
\end{array}
\right]
–
\left[
\begin{array}{cc}
\gamma&0\\
0&\mu\\
\end{array}
\right]
$$

De forma que $\mathcal{R}_0 = \sqrt{\frac{\alpha\beta(M/H)}{\mu\gamma}},$ por lo que para este modelo, la enfermedad se extingue si $\mathcal{R}_0 = \sqrt{\frac{\alpha\beta(M/H)}{\mu\gamma}} < 1$ y un equilibrio endemico estable existe si $\mathcal{R}_0 = \sqrt{\frac{\alpha\beta(M/H)}{\mu\gamma}} > 1$.

Cadena de Markov en tiempo continuo para la Malaria

La CMTC de la malaria es un proceso homogéneo respecto al tiempo y que cumple la propiedad markoviana. Hay seis eventos correspondientes a la transmisión de huésped a vector y de vector a huésped, un resumen se encuentra en el cuadro $1$. La CMTC de la malaria, dados $(S(t), I(t), U(t), V(t)) = (s, i, u, v)$, tiene tiempo entre eventos $T$ distribuido de forma exponencial, $T\sim exp(\lambda)$, con media $\frac{1}{\lambda}$, donde:
\begin{align}
\lambda&=\gamma i + \alpha v\left(\frac{s}{H}\right) + \beta u \left(\frac{i}{H}\right) + \mu(M+u+v)
\end{align}

Descripción	$(\Delta S,\Delta I)$	Probabilidad
Recuperación de humanos	$(+1,-1)$	$\gamma i \Delta t + o(\Delta t)$
Infección de humanos	$(-1,+1)$	$\alpha v(s/H)\Delta t + o(\Delta t)$

Descripción	$(\Delta U,\Delta V)$	Probabilidad
Infección de mosquitos	$(-1,1)$	$\beta u(i/H)\Delta t + o(\Delta t)$
Nacimiento de mosquito	$(+1,0)$	$\mu M\Delta t + o(\Delta t)$
Muerte de mosquito sano	$(-1,0)$	$\mu u\Delta t + o(\Delta t)$
Muerte de mosquito infectado	$(0,-1)$	$\mu v\Delta t + o(\Delta t)$

Cuadro 1. Probabilidades de la transmisión de huésped a vector y de vector a huésped

Existe un equilibrio estable en el modelo determinista si $ \mathcal{R}_0 > 1$ y en la CMTC se tienen órbitas estables cerca de este equilibrio endémico.

Aproximación cerca del equilibrio libre de enfermedad

La aproximación a una población completamente susceptible nos lleva a un proceso de ramificación bivariado. En el cuadro $2$ se muestra un resumen de los cambios en $I$ y $V$ cuando $S\approx H$ y $U\approx M$.

$(\Delta I,\Delta V)$	Probabilidad
$(+1,0)$	$\alpha v\Delta t + o(\Delta t)$
$(0,+1)$	$\beta i (M/H)\Delta t + o(\Delta t)$
$(-1,0)$	$\gamma i\Delta t + o(\Delta t)$
$(0,-1)$	$\mu v\Delta t + o(\Delta t)$

Cuadro 2: Probabilidades del proceso de ramificación para la aproximación cerca del punto de equilibrio

Posteriormente, se definen dos funciones generadoras de probabilidad (FGP), una para los huéspedes y otra para los mosquitos. Cada FGP tiene forma general:
\begin{align*}
&\sum\limits_{j,k} \mathbb{P}\left((I,V)=(j,k)\right)u_1^ju_2^k, & u_i\in [0,1], i=1,2
\end{align*}
Para un huésped infeccioso, solo hay dos eventos: se recupera el huésped o infecta a un mosquito. Entonces, dado $I(0)=1$ y $V(0)=0$, la FGP para $I$ es:
\begin{align}
f_1(u,v)=\frac{\gamma}{\gamma + \beta(M/H)} + \frac{\beta(M/H)}{\gamma + \beta(M/H)}u_1u_2
\end{align}
Es decir, la probabilidad de recuperarse es $\frac{\gamma}{\gamma + \beta(M/H)}$ e infecta a un mosquito con probabilidad $\frac{\beta (M/H)}{\gamma + \beta(M/H)}$.
De forma similar, suponiendo que sólo hay un mosquito infeccioso y ningún humano infectado, se obtiene la FGP para V:
\begin{align}
f_2(u_1,u_2)=\frac{\mu}{\mu + \alpha} + \frac{\alpha}{\mu + \alpha}u_1u_2.
\end{align}
Ahora, buscamos los puntos de equilibrio de $f_1,f_2$, que cumplen:
\begin{align*}
f_1(u_1,u_2)=u_1\\
f_2(u_1,u_2)=u_2.
\end{align*}
Un punto de equilibrio trivial es $(1,1)$, pero hay otro punto de equilibrio dado por:
\begin{align}
q_1&=\frac{\gamma}{\gamma + \beta(M/H)} + \frac{\beta(M/H)}{\gamma + \beta(M/H)}\left(\frac{1}{\mathcal{R}_0}\right)\\
q_2&=\frac{\mu}{\mu + \alpha} + \frac{\alpha}{\mu + \alpha}\left(\frac{1}{\mathcal{R}_0}\right).
\end{align}
Este punto de equilibrio $(q_1,q_2)$ existe en el cuadrado unitario si $\mathcal{R}_0>1$. La matriz jacobiana de las FGP evaluada en $(1,1)$ es:
$$M=\begin{bmatrix}
\frac{\beta (M/H)}{\gamma + \beta (M/H)} & \frac{\beta (M/H)}{\gamma + \beta (M/H)}\\
\frac{\alpha}{\mu + \alpha} & \frac{\alpha}{\mu + \alpha}
\end{bmatrix}.$$
En general, se puede demostrar que:
\begin{align}
W(M-\mathbb{I})&=F-V \label{algo}.
\end{align}
Donde $F,V$ son las matrices de la siguiente generación, $W=diag(\gamma + \beta\frac{M}{H},\mu + \alpha)$. Además, por la igualdad anterior se cumple:
\begin{align}
\mathcal{R}_0>1&\iff \rho(M)>1.
\end{align}
Donde $\rho$ es el radio espectral.

Interpretación biológica

A partir de un huésped infeccioso, no hay brote si el huésped infeccioso se recupera con probabilidad $\frac{\gamma}{\gamma + \beta(M/H)}$ o en el caso en que no haya transmisión exitosa a un mosquito susceptible con probabilidad $\frac{\beta(M/H)}{\gamma + \beta(M/H)}\left(\frac{1}{\mathcal{R}_0}\right)$. Además, la probabilidad de extinción de $I$ y $V$ es 1 cuando $\mathcal{R}_0<1$ y es menor que 1 si $\mathcal{R}_0>1$. Además, si $I(0)=i, V(0)=v$, la probabilidad de infección $P_{inf}$ y de epidemia $P_{epi}$ son:
\begin{align*}
P_{inf}&=\begin{cases} q_1^iq_2^j,&\mathcal{R}_0>1\\
1,&\mathcal{R}_01\\
0,&\mathcal{R}_0<1
\end{cases}
\end{align*}

Modelo diferencial estocástico para la Malaria

Las ecuaciones diferenciales estocásticas para el modelo epidémico de la Malaria se derivan de un proceso de difusión. Las variables aleatorias son continuas, $S(t),I(t),U(t),V(t) \in [0,N]$. Pueden derivarse ecuaciones diferenciales parciales de Kolmogorov hacia adelante y hacia atrás para la función de densidad de probabilidad de transición y, estas a su vez, conducen directamente a las ecuaciones diferenciales estocásticas.
Una derivación informal de las EDE correspondientes al modelo de Malaria es denotar el cambio en las variables del sistema $\Delta X = (\Delta S, \Delta I, \Delta U, \Delta V)^T$ y el lado derecho del modelo huésped-vector como $g_{i}, i = 1, 2, 3, 4$. Entonces las EDE de Itô para la Malaria se obtienen de la esperanza y la covarianza de $\Delta X$ basado en los seis eventos del cuadro $1$.
El sistema de las EDE tiene la forma: $dX(t) = f(X(t))dt + G(X(t))dW(t),$ donde $W(t)$ es un vector con seis procesos independientes de Wiener que corresponden a los 6 eventos representados en $1$, y $G$ es una matiz de $4\times 6.$
$$G=\begin{bmatrix}
-\sqrt{\alpha VS/H} & \sqrt{\gamma I} & 0 & 0 & 0 & 0\\
\sqrt{\alpha VS/H} & -\sqrt{\gamma I} & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -\sqrt{\beta UI/H} & \sqrt{\mu M} & -\sqrt{\mu U} & 0\\
0 & 0 & \sqrt{\beta UI/H} & 0 & 0 & -\sqrt{\mu V}
\end{bmatrix}.$$
La matriz $G$ satisface $GG^T = C,$ donde $C\Delta t$ es la aproximación de orden $\Delta t$ de la matriz de covarianza.
De forma explicita, el sistema de Itô⁸Linda J.S. Allen. A primer on stochastic epidemic models: Formulation, numerical simulation, and analysis. Infectious Disease Modelling, 2$($2$)$:128–142, May 2017 es:
\begin{align}
\begin{cases}
dS &= g_{1}dt -\sqrt{\alpha VS/H}dW_{1} +\sqrt{\gamma I}dW_{2}\\
dI &= g_{2}dt +\sqrt{\alpha VS/H}dW_{1} -\sqrt{\gamma I}dW_{2}\\
dU &= g_{3}dt -\sqrt{\beta UI/H}dW_{3} +\sqrt{\mu M}dW_{4} -\sqrt{\mu U}dW_{5}\\
dV &= g_{4}dt +\sqrt{\beta UI/H}dW_{3} -\sqrt{\mu V}dW_{6}
\end{cases}
\label{modelo Estocastico}
\end{align}
En este modelo, la población de mosquitos no es constante por que distintos procesos Brownianos rigen la dinámica de los nacimientos, las muertes de los mosquitos sanos y las muertes de los mosquitos infectados. Además se omite la dependencia con el tiempo $t$

Simulaciones

CMTC

Para simular las CMTC, solamente requerimos conocer el valor del punto inicial y de $\lambda$. El proceso a seguir es el siguiente:

1. Tomar el valor de $\lambda$ evaluada en el punto actual.
2. Simular $\Delta t$ como una V.A. exponencial con media $\frac{1}{\lambda}$.
3. Simular una v.a. multinomial con n=1 con las probabilidades dadas en el cuadro $1$.
4. Actualizar la población de acuerdo a la V.A. anterior.

De esta manera, es muy sencillo simular la ecuación de malaria para CMTC, como se muestra en la figura $1$.

Ecuaciones Diferenciales Estocásticas

Simular ecuaciones diferenciales estocásticas es en general difícil, pues no existe un método canónico para las ecuaciones del tipo
$$dX_t=F(t,X_t)dt + G(t,X_t)dW_t$$
Sin embargo, podemos aprovechar la forma de la ecuación el sistema de Itô para el modelo huésped-vector para aproximarla con métodos conocidos. Para esto, es necesario el siguiente teorema:

Teorema 1 $($Wong-Zakai⁹Wong Eugene and Zakai Moshe. On the relation between ordinary and stochastic differential equations. International Journal of Engineering Science, 3$($2$)$:213–229, July 1965.$)$. Sea $y_{t}(\omega)$ un proceso Browniano, y sea $y_{t}^{(n)}$ una aproximación lineal por trozos de $y_{t}(\omega)$ en el intervalo $[a,b]$ considere una secuencia de ecuaciones diferenciales en $[a,b]$
$$\mathrm{d} x_{t}^{(n)}(\omega)=m\left(x_{t}^{(n)}(\omega), t\right) \mathrm{d} t+\sigma\left(x_{t}^{(n)}(\omega), t\right) \mathrm{d} y_{t}^{(n)}$$
Con condiciones iniciales idénticas, $x_{a}^{(n)}(\omega)=x_{a}(\omega)$ y con esperanza $E[x_a^{(4)}]<\infty$. Sea $\sigma(x,t)$ y $m(x,t)$ funciones reales para toda $x\in \mathbb{R},t\in[a,b]$ tales que satisfacen las siguientes hipótesis:

• $H_{1}: \sigma^{\prime}(x, t)=\frac{\partial \sigma(x, t)}{\partial x}$ es continua en $x$ y $t$.
• $H_{2}: \sigma(x,t), \sigma\prime(x,t)\sigma(x,t), m(x,t)$ son continuas sobre $t$.
• $H_{3}: \sigma(x,t), \sigma\prime(x,t)\sigma(x,t), m(x,t)$ son Lipschitz continuas sobre $x$.

Entonces $x_t^{(n)}$ converge en esperanza a $x_t$ cuando $n\rightarrow\infty$, donde $x_t$ es la única solución de

$$\mathrm{d} x_{t}=m\left(x_{t}, t\right) \mathrm{d} t+1 / 2 \sigma\left(x_{t}, t\right) \sigma^{\prime}\left(x_{t}, t\right) \mathrm{d} t+\sigma\left(x_{t}, t\right) \mathrm{d} y_{t}$$

Este teorema da sustento al método de Euler-Maruyama para EDEs, que se puede utilizar para ecuaciones de la forma:
\begin{align}
dX_t=F(X_t)dt + G(X_t)dW_t \label{eq:EDEeuler}
\end{align}
Este método está basado en el método de Euler para EDOs, pero Gisiro Maruyama lo generalizó para el cálculo de Itô. Iniciamos con una EDE de esta forma en el intervalo $[0,T]$, tomamos $N$ particiones del intervalo, definimos $\Delta t=\frac{T}{N}$, tomamos como $X_0$ a la condición inicial de nuestro sistema y se define recursivamente:
\begin{align}
X_{n+1}&=X_n + F(X_n)\Delta t + G(X_n)\Delta W_n
\end{align}
Donde $\Delta W_n \sim \mathcal{N}(\mu=0,\sigma^2=\Delta t)$. De esta forma, la sucesión $X_n$ aproxima a la solución de $X_t$ cuando $N\rightarrow\infty$. En la figura $2$ se muestra una simulación de la población de mosquitos y de humanos para las ecuaciones estocásticas de la malaria. Podemos notar que la población de humanos llega rápidamente a un intervalo en el que permanece estable, pero dado que la población de mosquitos no son constantes, los mosquitos no necesariamente permanecen estables.

Conclusiones

Una ecuación diferencial estocástica es una ecuación diferencial cuyos coeficientes son números aleatorios o funciones aleatorias de las variables independientes. La forma más común de EDE es una EDO donde el lado derecho es perturbado por un término que depende de una variable, aleatoria o de ruido blanco.

El uso de ecuaciones diferenciales estocásticas para modelar requiere de una cantidad de trabajo importante y de un extenso conocimiento de la teoría estocástica. A lo largo de este proyecto se hizo aparente que agregar un elemento probabilístico, si bien es cierto que complica las cosas, hace que el modelo aproxime de mejor forma la realidad. Por lo tanto, las ecuaciones diferenciales estocásticas son la herramienta adecuada para describir sistemas con ruido externo.

La simulación numérica es una herramienta muy útil para comprender mejor el comportamiento de la EDEs. Por esto, a pesar de que el campo de las matemáticas que se dedica a encontrar las soluciones numéricas de las ecuaciones diferenciales estocásticas, y especialmente las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas, es relativamente joven, se han construido algoritmos rápidos para simular las soluciones de estos sistemas dinámicos. Sin embargo, estos algoritmos no son triviales y son mucho más que una simple generalización, lo que significa que aún es necesaria mayor investigación y nuevas ideas para tener algoritmos que tengan un menor error de aproximación que los actuales, por ejemplo, el presentado en este trabajo, Euler-Maruyama, es de orden $o(\Delta t)$, mientras que en las EDOs podemos construir aproximaciones de orden $o(\Delta t^3)$ fácilmente.