La línea 7 del metro como un proceso estocástico

Cuadro 1: Algunos datos de la Red del Sistema de Transporte Colectivo de la CDMX

Definiciones y supuestos

El modelo de Riaño se basa principalmente en el comportamiento intrínseco de dos variables:

1. La demanda de los pasajeros mientras estos arriban a la estación.
2. El tiempo de viaje o de desplazamiento.

Lo importante de la consideración de estas dos variables radica en lo fluctuante que resultan ser en el tiempo y la variabilidad de estas una vez que se fija un periodo, por lo cual pueden considerarse como procesos estocásticos.

Supondremos que el día está dividio en periodos definidos como intervalos de la misma longitud, de tal modo que nos referimos al intervalo $(t-1,t]$ como el periodo~$t$. Cada estación o parada del metro será referida por $i=0,1,\ldots,N$ donde el recorrido entre dos estaciones consecutivas, $i-1$ e $i$, es el segmento $i$. Denotaremos a $x_{it}$ como la frecuencia con la que salen los trenes de la estación $i$ en el periodo $t$. Entonces, la variable de decisión del modelo es $x_{0t}$ pues la dinámica de las frecuencias $x_{it}$ para $i=1,\ldots,N$ dependerá de la frecuencia de la estación anterior en cada periodo. Además, el número de trenes se mantiene constante $K$ y la oferta mínima aceptable en la estación $i$ durante el periodo $t$ la representamos $\theta_{it}$. De esto último podemos fijar una restricción de servicio:
$$Kx_{it}>\theta_{it}$$
lo cual garantiza que la demanda de transporte se satisfaga.

Se puede demostrar que si $x_{0t}$ se mantiene constante en cada periodo $t$, entonces la frecuencia $x_{it}$ se puede escribir como $$x_{it}=\sum\limits_{s=1}^t w_{s}^{t}(i)x_{0t}, \qquad \forall t, i=0\ldots n$$
donde $w_{s}^{t}(i)$ es la fracción de trenes que salieron de la estación $0$ en el periodo $s$ y pasaron por la estación $i$ en el periodo $t$. En cuanto al comportamiento de los pasajeros, supondremos que la demanda de pasajeros llega a cada estación de acuerdo a procesos de Poisson no homogéneos. Además, el número total de pasajeros que pasan por el segmento $i$ durante el periodo $t$ es una variable Poisson.

El modelo de Riaño supone que los tiempos de desplazamiento entre estaciones tienen una distribución normal. Este supuesto se hace por conveniencia ya que facilita el cálculo. Sin embargo, una distribución normal puede tomar tiempos negativos y cuando esto sucede se programan excepciones para que se tomen tiempos positivos lo cual podría afectar, aunque de manera no tan significativa, los resultados. Para evitar estas excepciones en la programación de la simulación, usaremos una distribución exponencial que tiene una relación con la distribución Poisson.

La demanda se supone que llega de acuerdo a procesos de Poisson independientes no homogéneos. Denotaremos a $\lambda_{ij}(\tau)$ la tasa de arribos a la estación $i$ con rumbo $j$ hasta el instante $\tau$. Para simplificar la situación, supondremos tasas constantes en los períodos, es decir, $$\lambda_{ij}(t)=d_i^j(t),$$
donde $d_i^j(t)$ es la tasa a la cual se origina la demanda en la estación $i$ a la estación~$j$, y la tasa variable de arribos a la estación $i$ viene dada por $$\lambda_i(\tau)=\sum_{j>i}\lambda_{ij}(\tau).$$

Modelado de los tiempos de viaje

\noindent Llamaremos $T_{ik}$ el tiempo que tome el $k$-ésimo tren para ir de $i$ a $i+1$ que se distribuye exponencial con parámetro $\mu$ donde se tiene que $$S_{ik}=\max\left(S_{i-1,k}+T_{ik}, S_{i,k-1} \right)$$
con $S_{ik}$ la hora de salida del $k$-ésimo tren de la estación $i$. En la representación anterior, el máximo representa el hecho de que los trenes no pueden rebasarse unos a otros, por lo tanto, el tren $k$ debe esperar a que el tren $k$ salga de la estación.

Modelado del movimiento de pasajeros

\noindent En particular mostraremos cómo se contabilizan los pasajeros que no logran subir al primer tren. Recordemos que la demanda se modela como procesos de Poisson. Denotaremos por $N_{ik}$ al número de pasajeros
que llegan a la estación $i$ entre las salidas de los trenes $k-1$ y $k$. Si hay suficiente capacidad, todos ellos subirán al tren $k$, pero esto no necesariamente sucede. Entonces los arribos son un proceso de Poisson debido a que se representa como la diferencia entre la demanda actual y la demanda pasada (incrementos). Definimos las siguientes variables:

• $B_{ik}=$ número de pasajeros que viajan en el $k$-ésimo tren entre las estaciones consecutivas $i-1$ e $i$.
• $A_{ik}=$ los que suben.
• $M_{ik}=$ los que bajan.
• $R_{ik}=$ los que se quedan y representan la demanda acumulada para el siguiente tren.

A partir de las definiciones anteriores podemos notar que:

1. La demanda potencial $N_{ik}+R_{ik}$
2. La capacidad remanente es $K-B_{i-1,k}+M_{ik}$
3. Por lo tanto, el número de personas que suben al tren es $$A_{ik}=\min\left(K-B_{i-1,k}+M_{ik},N_{ik}+R_{i,k-1} \right)$$
4. Y los que se quedan son $R_{ik}=N_{ik}+R_{i,k-1}-A_{ik}$

Finalmente, si $D_{ijk}$ es el número de pasajeros que toman el tren $k$ en la estación $i$ con destino $j$, entonces la distribución conjunta de los $D_{ijk}$ dado que suben $A_{ik}$ se distribuye multinomial.

La línea 7 del Metro

La línea 7 de la Red de Sistema de Transporte Colectivo de la CDMX tiene una longitud de 18.784 km, de los cuales 17.011 km estan en servicio y el resto se usa para maniobras. Se integra por 14 estaciones, 3 de ellas de correspondencia $($incluida una de sus terminales$)$, 10 de paso y una terminal más; del total, 13 estaciones son subterráneas y una superficial.

1. promViajesMetro: es el promedio del tiempo total del viaje por toda la línea. .
2. promTotalPasajeros: es el promedio del total de pasajeros que viajan en la línea.
3. PersonasQueNoentran: es el promedio del total de personas que no entran en el primer metro que pasa por la estación.

En el Escenario 1, tenemos los siguientes parámetros, en orden, FrecuenciaLlegada=1147, FrecuenciaSalida=802 y FrecuenciaTrenes=20. Por lo que podemos observar que los resultados de las respuestas caen en el rango esperado, esto se observa en las gráficas de brazos. Mientras en el Escenario 2, tenemos los siguientes parámetros, en orden, FrecuenciaLlegada = 1147, FrecuenciaSalida=573 y FrecuenciaTrenes=15. Finalmente en el Escenario 3, tenemos los siguientes parámetros, en orden, FrecuenciaLlegada = 1147, FrecuenciaSalida = 344 y FrecuenciaTrenes = 10.

Por lo que podemos concluir que entre menor sea la frecuencia de Trenes será mayor el total de personas que no podrán entrar en el primer tren que pase, teniendo que esperar al siguiente y aumentando el tiempo de espera. También podemos observar que entre mayor sea la Frecuencia de Salida del usuario en la estación, menor tendrá que esperar. Sin embargo, esta variable no es posible controlarla como podría ser la Frecuencia de Trenes en el sistema logístico de decisiones del Sistema Colectivo del Metro.

Figura 1: Interfaz de Programa SIMIO

 

Figura 2: Interfaz de Programa SIMIO cuando se realiza el primer recorrido del metro durante 5 horas

Figura 3: Resultados del experimento de 100 repeticiones, cambiando los parámetros de las llegadas y salidas de pasajeros

Figura 4:Resultado en análisis de RespuestaPromTotalPasajero

Figura 5: Resultado en análisis de RespuestaPromViajesMetro

Figura 6: Resultado en análisis de PersonasQueNoEntran

¹Acero, Juan Camilo & Riaño, Germán. «Implementación y análisis de un modelo estocástico de despacho de vehículos de trasnporte masivo’’, Revista de Ingeniería: Facultad de Ingeniería, Universidad de los Andes 21 (2005):6-18 pp.,²
Billingsley, Patrick. Probability and Measure, 3ed. John Wiley & Sons, 1975.,³ Karlin, Samuel & Taylor, Howard M. A First Course in Stochastic Processes. Academic Press, 1995.,⁴ «Datos y estadísticas de uso del transporte público en Ciudad de Mexico, México’’ Moovit Insights. Consultado el 24 de Julio de 2018 https://moovitapp.com/insights/es,⁵
«Afluencia de estación por línea 2017’’ Sistema de Transporte Colectivo, Consultado el 24 de Julio de 2018 http://www.metro.cdmx.gob.mx.