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Retos matemáticos

1. Hay un grupo de personas en una fiesta. Muestre que se pueden presentar a algunos de ellos entre sí, de tal forma que: cada una de las personas tenga un número único de amigos. Esto es, después de presentarlos, no más de dos personas en el grupo tengan el mismo número de amigos. La configuración inicial no funciona porque inicialmente todos tienen 0 amigos.
2. Demuestre que para cualquier $n$ natural, al menos uno de dos números, $n$ ó $n + 1$, se puede representar de la siguiente forma: $k + S (k)$ para una cierta $k$ y donde $S (k)$ es la suma de todos los dígitos en k. Por ejemplo, $21 = 15 + (1 + 5)$
3. Encuentra el número que falta

Enigmas matemáticos

1. En la bolsa de un comerciante, hay 12 monedas. Una de ellas es falsa, se nota que es falsa porque no pesa lo mismo que las demás. Sin embargo, no se sabe si la moneda falsa es más pesada o más ligera que las monedas reales. ¿Cómo encontrar la moneda falsa con a lo más tres intentos en una balanza simple? En otras palabras, solo se puede ocupar la balanza 3 veces.
2. Si se tiene un tablero de ajedrez y 32 fichas de dominó, de tal forma que cada dominó es cubre exactamente dos cuadrados adyacentes en el tablero. Por lo tanto, las 32 fichas de dominó pueden cubrir los 64 cuadrados del tablero de ajedrez. Pero ahora supongamos que cortamos dos cuadrados en las esquinas diagonalmente opuestas del tablero y descartamos una de las fichas de dominó. ¿Es posible colocar las 31 fichas de dominó en el tablero para cubrir los 62 cuadrados restantes? Si es así, muestre cómo se puede hacer. Si no, demuéstralo imposible.

Kakuro

Para resolver un rompecabezas Kakuro estándar hay que rellenar todos los cuadros sin sombrear de tal forma que cada corrida horizontal o vertical continua de cuadrados vacíos se suma al valor dado inmediatamente a la izquierda o en la parte superior del mismo, respectivamente. Además los Kakuros tiene otra regla: el mismo dígito no se puede repetir en ninguna carrera. Sin embargo, puede repetir un número en otra parte de la misma fila o columna del rompecabezas siempre que esté en la solución a una pista diferente.