Paradoja de Bertrand Russell en teoría de conjuntos

Introducción

Para hablar de paradojas, es necesario saber qué es una paradoja. Una paradoja es aquel razonamiento que, aunque parezca correcto, genera una contradicción. En matemáticas, las paradojas surgen de algún planteamiento erróneo, una deducción incorrecta o una operación con error lógico.

La paradoja de Russell es una contradicción que se manifiesta en la teoría de conjuntos, la cual constituye la base de las matemáticas. En el siglo XIX, Georg Cantor, junto al matemático Gottlob Frege, formula la primera teoría de conjuntos. $($Huertas Sánchez & Manzano Arjona, 2002$)$ La teoría de conjuntos de Cantor se puede sintetizar como sigue: “un conjunto es cualquier colección $[$llamado$]$ $C$ de objetos determinados y bien distintos $[$llamados$]$ $x$ de nuestra percepción o nuestro pensamiento $($que se denominan elementos de $C$$)$, reunidos en un todo.” $($Hernández H., 2003$)$ El conjunto no es la única clase que existe, pues pueden existir clases más amplias que otras. Por ejemplo, se dice que una colección de los elementos de $y$ es subconjunto de $C$ si sus elementos $y$ cumplen con las características del conjunto $C$, más algunas otras propiedades.

Paradoja de Russell

Bertrand Russell propone que no puede existir un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos. Es complicado entender esta paradoja por su proposición formal. En la literatura se utiliza un ejemplo muy conocido, la paradoja del barbero. Sin embargo, en esta ocasión se muestra uno distinto.

Imaginemos un pueblo chico donde solo hay un médico -cirujano- que opera a todas las personas de ese pueblo, puesto que no se pueden operar a sí mismas. Cuando el cirujano requiere de alguna cirugía, él no puede llevar a cabo la operación porque no se puede operar a sí mismo; de este modo, el cirujano necesita que otro especialista lo opere. En conclusión, no existe una persona que opere a todas las personas.

Una vez que se tiene la intuición del problema, surge la siguiente pregunta: ¿cómo se observa lo anterior en términos matemáticos? Russell plantea que que no puede existir un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos, como anteriormente se comenta.

Primero, se plantea la siguiente situación: “Para toda propiedad $\Phi(X)$ definible en la teoría, existe un conjunto $Y$ cuyos elementos son exactamente los conjuntos $X$ que cumplen la propiedad $\Phi(X)$.” Es decir, formalmente, la teoría postula la existencia del conjunto:

$$Y=\{X|\thinspace \phi(X)\}$$

Russell, a partir de lo anterior, descubre que al no haber límites en el conjunto, se puede dar la siguiente equivalencia:

$$\phi(X) \equiv X \not\in X$$

En otros términos, la propiedad $\phi(X)$ expone que algún conjunto $X$ no se debe tener a sí mismo como elemento; entonces, si esto es posible, debe existir un conjunto cualquiera que contenga a todos los conjuntos que no se contengan a sí mismos, sin ninguna excepción. En otros términos, la propiedad $\phi(x)$ expone que algún conjunto $X$ no se debe tener a sí mismo como elemento; entonces, si esto es posible, debe existir un conjunto cualquiera que contenga a todos los conjuntos que no se contengan a sí mismos, sin ninguna excepción. De este modo, se puede plantear la existencia del conjunto con la especificación anterior, es decir, el conjunto $Y$ es aquel que contiene a todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos.

$$Y=\{x|x\not\in x\}$$

Entonces se define a $Y$ de la siguiente manera.

$$\forall x \in Y \iff x \not\in x$$

A manera de extensión, el conjunto $Y$ se compone de los elementos $x$ que no sean elementos de sí mismos. Como $Y$ se compone de conjuntos, la definición se modifica, y todas las posiciones de $x$ se sustituyen por un conjunto.

$$\forall X \in Y \iff X \not\in X$$

Entonces, se entiende que todo conjunto $X$ pertenece al conjunto $Y$ si, y solo si, el conjunto no es elemento de sí mismo.

Sin embargo, cuando X se sustituye por el conjunto Y, la ecuación no puede ser válida.

$$Y \in Y \iff Y \not\in Y$$

Lo anterior expone que el conjunto $Y$ es elemento de $Y$ si, y solo si, $Y$ no es elemento de $Y$. Es evidente que se genera una contradicción; por consiguiente, Bertrand Russell demostró que no es posible el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos.

Resoluciones a la paradoja

Bertrand Russell no detuvo su trabajo en descubrir la paradoja, sino que, con ayuda de Alfred N. Whitehead se expone la resolución a la contradicción; no obstante, fue poco aceptada en el mundo matemático pues era un postulado complejo. $($Russell & Whitehead, 2010$)$

Más tarde, Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel reformularon toda la matemática y crearon una nueva teoría de conjuntos, la cual se compuso de diez axiomas $($Hernández H., 2003$)$ $($Universidad de Buenos Aires, 2012$)$. Así pues, surge una nueva cuestión. ¿Qué axiomas resuelven la paradoja de Bertrand Russell?

Si la siguiente sentencia permitía la paradoja de Russell:

“Para toda propiedad $\Phi(X)$ definible en la teoría, existe un conjunto Y cuyos elementos son exactamente los conjuntos X que cumplen $\Phi(X)$.”

Era necesario que la propiedad de $\Phi(X)$ se restringiera; de esta forma, se postuló un nuevo axioma a la nueva teoría de conjuntos, también conocido como “esquema axiomático de especificación”. Dicho axioma postula que los conjuntos se obtienen de otros conjuntos ya dados. En otras palabras, todo conjunto tiene un conjunto más grande que lo contiene; por consiguiente, la fórmula $x\in x$ no es posible, ya que un conjunto no se puede extraer de sí mismo. $($Hernández H., 2003$)$

Este nuevo axioma, permitió que el postulado se escriba de una nueva manera:

“Para toda propiedad $\Phi(X)$ definible en la teoría y todo conjunto U, existe un conjunto Y cuyos elementos son exactamente los elementos $X \in U$ que cumplen $\Phi(X)$.”

El nuevo objeto $U$ es el conjunto que tiene a todos los objetos, según el contexto dado. A dicho elemento se le llamó universo o conjunto universal. Entonces el conjunto $Y$ que se definió con anterioridad se reescribe del siguiente modo:

$$Y = \{X \in U | \phi(X)\}$$

Entonces, el conjunto $Y$ no es conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos, sino que es un conjunto de todos los conjuntos de un sector bien definido. En resumen, $Y$ es un conjunto que contiene todos los elementos a evaluar o estudiar.

$$\nexists X : (\forall u |(u \in X))$$

Conclusiones

La teoría de conjuntos ha cambiado a lo largo de los años con diversos axiomas para evitar posibles contradicciones o paradojas. Como la teoría conjuntista es la base de la matemática actual, se necesita de una base sólida para su continua elaboración e investigación.

En este caso, la paradoja de Russell no se puede resolver, ya que es imposible que el problema no genere alguna contradicción; sin embargo, se puede evitar el conflicto. Zermelo y Fraenkel limitaron la teoría inicial de conjuntos de Cantor con el fin de que la paradoja de Russell no se pueda plantear.

Referencias

Hernández H., F., Teoría de conjuntos, Universidad Nacional Autónoma de México, México, DF, 2003.
Huertas Sánchez, A. y Manzano Arjona, Teoría de conjuntos, Universidad Complutense de Madrid, https://webs.ucm.es/info/pslogica/teoriaconjuntos.pdf, Madrid, España, Febrero 2002.
Russell, B. y Whitehead, A. N., Principia Mathematica, Routledge Classics, Reino Unido, 2010.
Universidad de Buenos Aires Teoría axiomática, Departamento de Matemática, http://www.dm.uba.ar/materias/optativas/topicos_de_logica/2012/1/Capitulo_1-Bibliografia.pdf, 2012.