Retos matemáticos
- Demuestra que $$\frac{x^{n} y^m}{x^2 + y^2}\xrightarrow[(x,y)\to (0,0)]{}0$$ si $n+m>2, n,m \in \mathbb N$
- Encuentre todos los enteros positivos $(a,b,c)$ para los que se cumple $$a^3+b^3+c^3=(abc)^2$$
- Te regalan un set de $n$ bloques, cada uno pesa al menos $1$; el peso total de todo el set es de $2n$. Demuestra que para cada número real $r$ con $0\leq r \leq 2n-2$ se puede escoger un subconjunto de bloques que tenga un peso de mínimo $r$ y máximo $r+2$.
- Sea $u_{1}$,$u_{2}$,…,$u_{2019}$ números reales que satisfacen lo siguiente:\begin{equation} u_{1}+u_{2}+…+u_{2019}=0 \\ \text{y}\\ u_{1}^2+u_{2}^2+…+u_{2019}^2=1 \end{equation} Sea $a=$mín$(u_{1}+u_{2}+\dots+u_{2019})$ y $b=$máx $(u_{1}+u_{2}+…+u_{2019})$. Prueba que $$ab\leq-\frac{1}{2019}$$
- Encuentra todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación $$(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)…(2^n-2^{(n-1)})=m!$$
Enigmas matemáticos
- Se entrega una baraja de $n>1$ cartas. Se escribe un número entero positivo en cada tarjeta. La baraja posee la propiedad de media aritmética en cada par de cartas y la media geométrica en algunas colecciones de una o más cartas ¿Para qué $n$ los números de las tarjetas son todos iguales?
- En el juego de ajedrez, existen fichas que tienen la posibilidad de pasar por todas las casillas del tablero, como el rey y la reina, y fichas que no tienen esa posibilidad, como el alfil. ¿Pero qué ocurre con el caballo? ¿Puede el caballo moverse por el tablero de tal forma que pase por todas y cada una de las casillas del tablero?
- En esta ocasión nos encontramos con una serie de igualdades, de las cuales debes resolver la última. Si $8806=6$, $7111=0$, $2172=0$, $6666=4$, $1111=0$, $7662=2$, $9312=1$, $0000=4$, $2222=0$, $3333=0$, $5555=0$, $8193=3$, $8096=5$, $7777=0$, $9999=4$, $7756=1$, $6855=3$, $9881=5$, $5531=0$, $2581= $¿?
Killer sudoku
Reglas:
- Complete la cuadrícula de modo que cada fila, columna y bloque de $3×3$ contenga los dígitos del 1 al 9.
- Cada sección punteada posee una pista en la esquina, y la suma números de cada sección debe coincidir con la pista.
- No puede haber números repetidos en las secciones.
