Introducción
Para llevar tres sandías que pesan 2 kilogramos cada una de un lugar a otro, un hombre que pesa 71 kilogramos debe atravesar un puente que solamente aguanta 75 kilogramos. Tiene prisa y no quiere hacer dos viajes. ¿Qué es lo que tiene que hacer para cruzar el puente con sus sandías sin que este se caiga? La solución de este viejo problema es sencilla si le indicamos al hombre que debe malabarear las sandías de manera que una sandía siempre esté en el aire. Sin embargo esta solución teórica no se puede aplicar en la vida real ya que al lanzar al aire alguna de las sandias el hombre debe ejercer una fuerza en la sandía que lanza que se suma a su peso y que hará que el puente no aguante y él se caiga.
A pesar de que no hemos podido resolver en la práctica el problema, el malabarismo presenta muchos otros retos de los que hablaremos aquí; unos matemáticos, otros físicos y otros concernientes a la habilidad del malabarista.
La definición y un poco de historia
Debemos dar una definición de lo que es el malabarismo para poderlo estudiar y encontrar sus raíces en la historia de la humanidad.
El malabarismo es la acción de lanzar y cachar, de manera continua y sobre un mismo trayecto o un trayecto semejante, objetos más numerosos que los instrumentos que los lanzan y cachan.
De manera genérica llamaremos mano al instrumento que lanza y pelota al objeto lanzado. Entonces el número de manos debe ser menor que el número de pelotas. Por ejemplo, se puede malabarear dos pelotas con una mano o tres con dos manos pero no consideraremos malabarismo el usar dos pelotas y dos manos.
Para poder estudiar matemáticamente este arte supondremos que algunas propiedades se cumplen:
- Todas las pelotas siguen el mismo trayecto.
- Todas las pelotas se quedan en la mano el mismo tiempo.
- Todas las pelotas se quedan en el aire el mismo tiempo.
- Nunca hay dos pelotas en la misma mano.
Una vez que hemos definido el malabarismo veamos cuándo y cómo apareció.
La imagen más antigua que se tiene del malabarismo apareció en Egipto y está fechada entre 1794 y 1781 antes de nuestra era. La otra es una estatuilla de barro del año 200 antes de nuestra era, encontrada en Roma y que actualmente está en el museo de Berlin.
En las distintas civilizaciones, a menudo el malabarismo fue utilizado por chamanes, adivinos o brujos como algo que no estaba cercano a los mortales. Posteriormente, en la época gloriosa del circo y de los grandes espectáculos uno de las actos más importantes fue el malabarismo; que se hacía con distintos objetos, haciéndolo cada vez más vistoso al usar antorchas, cuchillos, bolas de boliche.
El primer estudio científico sobre el malabarismo apareció en 1903, cuando Edgar Swift publicó en el American Journal of Psychology un artículo donde describía la rapidez con la que ciertos jóvenes aprendían a malabarear dos pelotas con una sola mano. Posteriormente, en 1947 se creó la Asociación Internacional de Malabaristas que anualmente organiza el día mundial del malabarismo. El próximo año será el 19 de junio de 2021. A continuación, elcartel correspondiente al día internacional del año 2020. En su convención anual, esta asociación llama a los malabaristas de todo el mundo para romper los records existentes.
En 1970 Claude Shannon creó sus máquinas para malabarear en MIT y estableció una relación entre la posición de las pelotas y la acción de las manos. Finalmente, fue en 1981 que apareció la matematización del malabarismo, de lo cual hablaremos en la siguiente sección.
Las cuentas
El movimiento más usual en el malabarismo es el ocho, y es este movimiento el que estudiaremos con más detalle, aunque hay otros movimientos que también son usuales. Con las suposiciones hechas es fácil darse cuenta que el movimiento en ocho es simétrico, periódico y uniforme, donde uniforme quiere decir que las pelotas describen curvas lisas y suaves en el sentido matemático. Aquí el ocho con tres pelotas y dos manos.
Analicemos las variables que necesitamos. Obviamente el número de pelotas, que denotaremos por p y el número de manos, que denotaremos por m. Observemos que paraque tengamos una situación de malabarismo, p debe ser mayor que m. Ahora observemosque una pelota está cierto tiempo en la mano, y ese tiempo es el mismo para cada pelota; a ese tiempo lo denotaremos por r.También será importante el tiempo que una pelota está en el aire cuando va de una mano a la siguiente; a ese tiempo lo denotaremos por v. Finalmente, consideraremos el tiempo en que la mano no tiene pelota y lo denotaremos por t.
En resumen,
- p: número de pelotas.
- m: número de manos.
- v: tiempo de vuelo de una pelota entre manos.
- r: Tiempo que una pelota está en una mano.
- t: tiempo en que la mano está vacía.
Si nos fijamos en una pelota específica tenemos que, o está en una mano un tiempo r, o bien está en el aire un tiempo v, y así continúa alternando. Aquí una situación con dos manos.
Si nos fijamos en una mano, esta tendrá una pelota un tiempo r o bien estará vacía un tiempo t y así continúa alternando. Aquí una situación con tres pelotas.
Hagamos un cálculo rápido para ver cuánto tarda una pelota de salir de una mano y regresar a esa misma, es decir, cuánto tarda en completar un periodo. Para calcular el periodo, la pelota tiene que ir de mano en mano, donde se tarda r $+$ v, y luego pasar por todas las manos.
Fijándonos en una pelota, un periodo se puede calcular como: $$\textbf{m}(\textbf{r} + \textbf{v}).$$Ahora concentrémonos en la mano. Para calcular un periodo debemos fijarnos que una pelota cae en la mano cada $\textbf{r} + \textbf{t}$, y para completar el periodo todas las pelotas deben pasar por esa mano.
Fijándonos en una mano, un periodo se puede calcular como:$$\textbf{p}(\textbf{r} + \textbf{t})$$Hemos calculado el periodo de dos maneras diferentes, por lo tanto$$\textbf{m}(\textbf{r} + \textbf{v}) = \textbf{p}(\textbf{r} + \textbf{t}),$$ de donde se obtiene la fórmula conocida como Razón de Permanencia y que fue descubierta por Claude Shannon en 1981:$$\dfrac{\textbf{p}}{m} = \dfrac{(\textbf{r} + \textbf{v})}{(\textbf{r} + \textbf{t})}.$$Observemos que como p, el número de pelotas, es mayor a m, el número de manos, la razón $\dfrac{\textbf{p}}{\textbf{m}}$ es mayor que $1$, por lo que $\dfrac{(\textbf{r} + \textbf{v})}{(\textbf{r} + \textbf{t})}$ es mayor que $1$, de modo que el tiempo de vuelo v debe ser mayor que el tiempo t en que la pelota está en la mano.
Entonces, si un humano malabarea siempre tendremos que el número de manos es $2$, y para poder malabarear cada vez con más pelotas se debe de incrementar el tiempo de vuelo y disminuir el tiempo en que la pelota está en la mano, ya que el cociente $\dfrac{(\textbf{r} + \textbf{v})}{(\textbf{r} + \textbf{t})}$ debe ser lo mayor posible.
Se pueden analizar los dos casos en los que, ya sea r o t, sean cero. Son casos que no son realistas, pero que inmediatamente arrojan que, para que $\dfrac{(\textbf{r} + \textbf{v})}{(\textbf{r} + \textbf{t})}$ sea lo mayor posible, el tiempo de vuelo debe ser lo mayor posible, y obviamente para aumentar v hay que aumentar la altura que alcanzará la pelota.
Para tener un modelo más apegado a la realidad debe entrar en juego la fuerza de la gravedad, que es lo que hace que la pelota no pueda ir demasiado alto. Como la pelota sigue una trayectoria parabólica en el movimiento de ocho, sabemos que su movimiento está regido por $\textbf{h} = \dfrac{1}{2}\textbf{g}\textbf{x}^{2},$ donde h es la altura que alcanza la pelota, g es la constante de aceleración y x es el tiempo. De donde $\textbf{x}^{2} = \dfrac{2\textbf{h}}{\textbf{g}}.$ Ahora, en el modelo anterior el tiempo de vuelo de la pelota es $\textbf{v} = 2\textbf{x}$ de manera que $\textbf{v}^{2} = \dfrac{8\textbf{h}}{\textbf{g}},$ lo cual. Debido a que g es aproximadamente $10$, nos da que $\textbf{v}^{2} = \dfrac{\textbf{8h}}{\textbf{10}} = \dfrac{\textbf{4h}}{\textbf{5}}.$ Así ¡v varía aproximadamente como $0.9$ multiplicado por la raíz cuadrada de h! Por ejemplo, si un malabarista hace su ejercicio en ocho con tres pelotas y lanza cada una a 40cm, si quiere aumentar a 5 pelotas, las deberá lanzar a unos $2$ metros, aproximadamente. Si lo quiere hacer con $7$ pelotas, cada una la deberá de lanzar a una altura de más de $6$ metros. Esto nos da idea de cómo aumenta la dificultad al aumentar el número de pelotas.Únicamente hemos hablado del movimiento en forma de ocho, en el cual por asuntos de simetría se usa siempre un número impar de pelotas. Casi cualquier persona con una semana de entrenamiento será capaz de malabarear tres pelotas en forma de ocho. Dicen los expertos que para hacerlo con cinco pelotas serequieren unos seis meses de entrenamiento. Con esto nos damos cuenta de la complicación que es aumentar el número de pelotas.
Los records
Muchos de los records que existen en el malabarismo son utilizando objetos diferentes apelotas, como ya lo hemos indicado. Otros, en el tiempo máximo de mantener cierto número de pelotas, en general $3$ o $5$, en forma de $8$ sin que se caigan. En la red se pueden consultar varios de estos records.Sin embargo, lo más llamativo es saber cuál es el record del número de pelotas que semantiene en el aire dando al menos una vuelta, es decir, que al menos cada pelota pase poruna mano una vez.El record es de Alex Baron, que en 2017 lanzó al aire $11$ pelotas e hizo $33$ atrapadas, es decir que cada pelota la cachó tres veces. Posteriormente lanzó $13$ bolas al aire, cachó cada una al menos una vez, cachó las pelotas $15$ veces. Después de eso se planteó lanzar $14$ bolas alaire, que sería el mayor número de objetos en el aire, pues Alex Baron lo logró cachandoexactamente una vez cada una de las pelotas, es decir que hizo 14 cachadas.En la siguiente página se pueden ver todos los records que hay al respecto https://juggle.fandom.com/wiki/World_records.Terminaremos hablando brevemente de uno de los más famosos malabaristas que han existido, Enrico Rastelli (1896 – 1931). En su época, él era una verdadera celebridad del espectáculo de variedades cuando éste era la principal forma de entretenimiento. Su carrera consistió en tres períodos distintos.
- El primer periodo fue la manipulación de las bolas.
- Durante el segundo periodo, en un traje de seda, trabajó con bolas de goma, haciendo malabarismo al parecer de rebote.
- Finalmente, con el auge que empezó a tomar el fútbol, cambió su acto y comenzó a hacer malabarismo con balones de fútbol.
